Elliptische Funktion

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Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen spezielle meromorphe Funktionen, die zwei Periodizitätsbedingungen erfüllen. Elliptische Funktionen heißen sie, weil sie ursprünglich von elliptischen Integralen abstammen. Diese wiederum treten bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auf.

Wichtige elliptische Funktionen sind die Jacobischen elliptischen Funktionen und die Weierstraßsche ℘-Funktion.

Weitere Entwicklungen haben zu den modularen Funktionen und den hyperelliptischen Funktionen geführt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine elliptische Funktion ist eine meromorphe Funktion, für die zwei -linear unabhängige komplexe Zahlen existieren, sodass gilt:

und

Elliptische Funktionen haben also zwei Perioden und werden deshalb auch als doppeltperiodisch bezeichnet.

Periodengitter und Grundmasche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallelogramm, bei dem gegenüberliegende Seiten identifiziert werden

Ist eine elliptische Funktion und sind die Perioden, so gilt

für jede Linearkombination mit ganzen Zahlen .

Die abelsche Gruppe

heißt das Periodengitter. Es ist ein vollständiges Gitter in .

Das von und aufgespannte Parallelogramm

heißt Grundmasche oder auch Fundamentalbereich.

Geometrisch wird also die komplexe Ebene mit Parallelogrammen gekachelt. Alles, was in der Grundmasche passiert, wiederholt sich in jeder anderen. Deshalb fasst man elliptische Funktionen auch als Funktionen auf der Faktorgruppe auf. Diese Faktorgruppe kann man sich vorstellen als ein Parallelogramm, bei dem gegenüberliegende Seiten identifiziert werden, was topologisch einem Torus entspricht.[1]

Liouville’sche Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Sätze über elliptische Funktionen sind als die Liouville’schen Sätze (1847) bekannt.

1. Liouville’scher Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant.[2]

Dies ist die ursprüngliche Version des Satzes von Liouville und kann aus ihm gefolgert werden:[3] Eine holomorphe elliptische Funktion ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche kompakt ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.

2. Liouville’scher Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine elliptische Funktion hat nur endlich viele Pole in und die Summe der Residuen ist .[4]

Aus dieser Aussage folgt, dass es keine elliptische Funktion mit genau einem einfachen Pol oder genau einer einfachen Nullstelle in der Grundmasche geben kann.

3. Liouville’scher Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nichtkonstante elliptische Funktion nimmt mit Vielfachheit gezählt auf jeden Wert gleich oft an.[5]

Weierstraßsche ℘-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine der wichtigsten elliptischen Funktionen ist die Weierstraßsche ℘-Funktion. Für ein festes Periodengitter ist sie gegeben durch:

Nach Konstruktion hat sie an jedem Gitterpunkt einen Pol der Ordnung 2. Der Term dient dazu, die Reihe konvergent zu machen.

ist eine gerade elliptische Funktion, d. h. .[6]

Ihre Ableitung

ist eine ungerade elliptische Funktion, d. h. [6]

Eines der wichtigsten Resultate der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage: Jede elliptische Funktion zum Periodengitter lässt sich als rationale Funktion in und schreiben.[7]

Die -Funktion erfüllt folgende Differentialgleichung:

und sind Konstanten, die von und abhängen. Genauer gilt: und , wobei und Eisensteinreihen sind.[8]

In algebraischer Sprache bedeutet dieser Satz: Der Körper der elliptischen Funktionen zum Periodengitter ist isomorph zum Körper

Unter diesem Isomorphismus wird auf und auf abgebildet.

Zusammenhang mit elliptischen Integralen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zusammenhang elliptischer Funktionen mit elliptischen Integralen ist hauptsächlich von historischer Natur. Elliptische Integrale wurden unter anderem bereits von Legendre studiert, dessen Arbeit sowohl von Abel als auch von Jacobi zunächst unabhängig voneinander fortgeführt wurde.

Abel stieß auf die elliptischen Funktionen, indem er die Umkehrfunktion des elliptischen Integrals

betrachtete, also .[9]

Bei seinen Untersuchungen dieser Funktion definierte er die Funktionen:[10]

und

.

Diese drei Funktionen stellten sich nach Fortsetzen in die komplexe Ebene als doppeltperiodische Funktionen heraus und werden abelsche elliptische Funktionen genannt.

Auch die Jacobischen elliptischen Funktionen entstanden durch die Umkehrung elliptischer Integrale.

Jacobi betrachtete die Integralfunktion

und invertierte sie: . Hierbei steht für sinus amplitudinis und bezeichnet die neue Funktion.[11] Darüber hinaus führte er die Funktionen cosinus amplitudinis und delta amplitudinis ein, die wie folgt definiert sind:

Erst durch diesen Schritt konnte Jacobi 1827 seine allgemeine Transformationsformel elliptischer Integrale beweisen.[12]

Geschichte der elliptischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Gebiet wurde bald nach der Entwicklung der Infinitesimalrechnung von dem italienischen Mathematiker Giulio di Fagnano und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler begründet. Bei der Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate stießen sie auf Integrale, in denen die Quadratwurzeln aus Polynomen 3. und 4. Grades auftraten.[13] Man erkannte, dass sich die sogenannten elliptischen Integrale nicht durch elementare Funktionen ausdrücken ließen. Fagnano fand eine algebraische Relation zwischen elliptischen Integralen, die er 1750 veröffentlichte.[13] Euler verallgemeinerte Fagnanos Ergebnisse und formulierte sein algebraisches Additionstheorem für elliptische Integrale.[13]

Seine Ideen wurden bis auf eine Bemerkung Landens[14] erst 1786 durch Legendre in seinen Werken Mémoires sur les intégrations par arcs d’ellipse weiter verfolgt.[15] Legendre hat sich von da an immer wieder mit dieser Art von Integralen beschäftigt und nannte sie elliptische Funktionen. Legendre klassifizierte die elliptischen Funktionen in drei Arten, wodurch er sich den seinerzeit sehr schwierigen Zugang zu ihrer Untersuchung wesentlich erleichterte. Weitere wichtige Arbeiten Legendres sind: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792),[16] Exercices de calcul intégral (1811–1817),[17] Traité des fonctions elliptiques (1825–1832)[18].

Ab 1826 nahmen die beiden Mathematiker Abel und Jacobi diese Untersuchungen wieder auf und kamen schnell zu ungeahnten neuen Erkenntnissen. Neu an deren Arbeiten war, dass sie die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale betrachteten. Diese inversen Funktionen heißen nach einem Vorschlag Jacobis von 1829 elliptische Funktionen. Eines der wichtigsten Werke von Jacobi ist das Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum aus dem Jahr 1829.[19] Das von Euler in spezieller Form gefundene Additionstheorem wurde in seiner allgemeinen Form 1829 von Abel formuliert und bewiesen. Zu dieser Zeit wurden die Theorie der elliptischen Funktionen und die Theorie der doppeltperiodischen Funktionen noch als zwei verschiedene Theorien betrachtet. Zusammengeführt wurden sie von Briout und Bouquet 1856.[20] Gauß hatte, wie er selbst bemerkte und wie sich auch hat nachweisen lassen, schon dreißig Jahre vorher viele Eigenschaften der elliptischen Funktionen gefunden, aber nichts darüber publiziert.[21]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 259.
  2. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 258.
  3. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 118 f.
  4. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 260.
  5. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 262.
  6. a b K. Chandrasekharan: Elliptic functions. Springer-Verlag, Berlin 1985, ISBN 0-387-15295-4, S. 28.
  7. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 275.
  8. Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 276.
  9. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 74.
  10. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 75.
  11. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 82.
  12. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 81.
  13. a b c Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 23 f.
  14. John Landen: An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom. In: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, JSTOR 106197.
  15. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644–683.
  16. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34.
  17. Adrien-Marie Legendre: Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 3 Bände. (Band 1, Band 2, Band 3). Paris 1811–1817.
  18. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3 Bände (Band 1, Band 2, Band 3/1, Band 3/2, Band 3/3). Huzard-Courcier, Paris 1825–1832.
  19. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829.
  20. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 122.
  21. Jeremy Gray: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 96.