S. Ramanujan

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S. Ramanujan
Ramanujans Unterschrift

S. Ramanujan [ɾɑːˈmɑːnuˌdʒən] Audio-Datei / Hörbeispiel Aussprache?/i (Srinivasa Ramanujan Aiyangar; FRS; Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்; * 22. Dezember 1887 in Erode, Tamil Nadu; † 26. April 1920 in Kumbakonam, Tamil Nadu) war ein indischer Mathematiker. Er ist vor allem dafür bekannt, sich seine mathematischen Kenntnisse autodidaktisch beigebracht und außergewöhnliche Fähigkeiten im Umgang mit analytischen und zahlentheoretischen Problemen gehabt zu haben. Von 1914 bis 1919 arbeitete er gemeinsam mit dem britischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy am Trinity College der Universität Cambridge in England.

Leben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

S. Ramanujans Wohnhaus in der Sarangapani Street in Kumbakonam

Jugend und Ausbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ramanujan kam 1887 in der tamilischen Stadt Erode in einer orthodoxen Iyengar-Brahmanenfamilie zur Welt. Hier lebten seine Großeltern mütterlicherseits. Nach kurzer Zeit zog die Familie nach Kumbakonam, wo sie ein kleines Gebäude in der Sarangapani Street bezog. Sein Vater K. Srinivasa Aiyangar arbeitete als Kontorist in einem Sari-Laden und seine Mutter Komalatammal Srinivasa war eine gebildete Hausfrau, die im Chor eines nahen Tempels sang. Die Familie lebte ärmlich und zog oft um.

Im Sommer 1889 kam sein Bruder Sadagopan zur Welt, der nach weniger als drei Monaten verstarb. Im Dezember desselben Jahres erkrankte Ramanujan schwer an Pocken, die im Distrikt Thanjavur Tausende das Leben kosteten. Danach zog er mit seiner Mutter in die Kleinstadt Kanchipuram nahe Madras (heutiger Name Chennai), wohin zuvor seine Großeltern aus Erode gezogen waren. Im November 1891 kam ein weiterer Bruder zur Welt, der ebenfalls im ersten Lebensjahr verstarb.

Am 1. Oktober 1892 kam Ramanujan mit vier Jahren in die Vorschule. Im März 1894 wechselte er auf die Telugu Medium School. Nachdem sein Großvater in Kanchipuram seine Arbeit als Richter verloren hatte, zogen Ramanujan und seine Mutter zurück nach Kumbakonam. Dort besuchte er die Kangayan Primary School. Nach dem Tod seines Großvaters väterlicherseits schickte man ihn zu den Großeltern mütterlicherseits, die mittlerweile in Chennai lebten. Ramanujan mied die Schule und erhielt einen Aufseher, der den Schulbesuch sicherstellte. Nach sechs Monaten zog Ramanujan zurück nach Kumbakonam. Dort bekam seine Mutter 1894 ein weiteres Kind, das im ersten Lebensjahr starb.

Der Vater war selten daheim und Ramanujan entwickelte ein enges Verhältnis zur Mutter, die ihn als Brahmane erzog und ihm die Traditionen, das Kastenwesen, die Puranas, religiöse Lieder und die Zelebrierung der Puja beibrachte.

Auf der Kangayan Primary School galt Ramanujan kurz vor seinem zehnten Geburtstag in den Fächern Englisch, Tamil, Geographie und Arithmetik als bester Distriktschüler. Im Jahr darauf gebar seine Mutter seinen Bruder Lakshmi Narasimhan, der überlebte. Im selben Jahr kam Ramanujan auf die Town High School von Kumbakonam, wo er kompliziertere Formeln lernte und als Mathematik-Wunderkind auffiel. Mit elf war er zwei College-Studenten aus der Nachbarschaft überlegen. Er las Bücher über fortgeschrittene Trigonometrie von Sidney Luxton Loney und arbeitete diese in zwei Jahren autodidaktisch durch. Mit dreizehn stellte er selbst neue Formeln auf und erstaunte die Lehrer. Ein Mitschüler erinnerte sich gut fünfzig Jahre später, dass er ihn selten verstand.[1] Schüler, die ihn nicht so gut kannten, hatten Respekt vor seinen Fähigkeiten.

1902 erhielt Ramanujan Zertifikate für besondere Verdienste und Auszeichnungen und half der Schulleitung, die 1200 Schüler auf das 35-köpfige Lehrerkollegium zu verteilen. Ramanujan interessierten unendliche Reihen. Anfang 1904, Ramanujan war sechzehn Jahre alt, stieß er auf das Buch „A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics“ von George Shoobridge Carr. Dieses enthielt über 5000 mathematische Sätze, die er sich aneignete. Als er im Jahre 1904 an der High School graduierte, überreichte ihm der Schulleiter Krishnaswami Iyer für seine mathematischen Leistungen den K. Ranganatha Rao prize, was ihm ein Stipendium am Government College, dem sogenannten „Cambridge Südindiens“ ermöglichte. Im Alter von 17 Jahren berechnete Ramanujan die Euler-Mascheroni-Konstante im Kopf auf 15 Stellen hinter dem Komma und fand die Bernoulli-Zahlen. Er vernachlässigte die anderen Fächer und verlor sein Stipendium 1905.

Im August zog er nach Visakhapatnam und gegen Jahresende registrierte er sich erfolglos am Pachaiyappa’s College in Chennai. Er wollte an der University of Madras studieren, bestand aber die Prüfungen in anderen Fächern nicht und erhielt kein Examen bei den Prüfungen im Dezember 1906, auch ein weiterer Versuch 1907 blieb erfolglos.

Leben in Indien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne Anstellung lebte Ramanujan am Existenzminimum und hungerte oft. Er heiratete auf Wunsch seiner Mutter am 14. Juli 1909 die damals zehnjährige S. Janaki Ammal (1899–1994). Danach zog die Braut zu ihren Eltern und lebte wieder mit Ramanujan ab 1912, als dieser eine Anstellung fand. Wenige Monate später erkrankte er an einer Hydrocele testis, einer Ansammlung von Flüssigkeit in den Hodenhüllen und im Januar 1910 nahm ein Arzt einen Eingriff vor. Nach der Genesung fand Ramanujan eine Stelle als Kontorist in Chennai und gab einigen Studenten des Presidency College Nachhilfe in Mathematik. Er veröffentlichte seine Ergebnisse in indischen Zeitschriften. Ende des Jahres 1910 erkrankte er erneut schwer. Danach fuhr er nach Villupuram und traf den Distriktvorsteher V. Ramaswami Iyer, der kurz zuvor die Indian Mathematical Society (IMS) ins Leben gerufen hatte. Er bewarb sich mit seinen Notizbüchern mit Formeln um eine Stelle in der Finanzabteilung. Iyer meinte später:

„Ich war beeindruckt von den außergewöhnlichen Resultaten, die darin [in den Notizbüchern] enthalten waren. Mir kam es nicht in den Sinn, sein Talent durch eine Anstellung auf der untersten Sprosse der Finanzabteilung zu unterdrücken.“[2]

Er schickte Ramanujan mit Empfehlungspapieren zu befreundeten Mathematikern nach Chennai. Diese empfahlen ihn dem Distriktvorsteher von Nelluru und Sekretär der IMS, R. Ramachandra Rao. Ramanujan rechnete ihm elliptische Integrale, hypergeometrische Funktionen sowie seine eigene Theorie über die Divergenz unendlicher Reihen vor und Ramachandra Rao erkannte seine Brillanz. In Chennai führte Ramanujan mit der finanziellen Hilfe Ramachandra Raos seine Arbeiten fort und veröffentlichte in der Zeitschrift der IMS.

Eines der ersten Probleme, die er in dem Heft behandelte, war die Berechnung des Ausdrucks

Er wartete lange Zeit auf eine Lösung durch die Leserschaft, war jedoch am Ende gezwungen, die Lösung selber zu präsentieren, da niemand einen Vorschlag eingeschickt hatte. Er nutzte dabei die Identität:

Gemäß dieser Gleichung war die Lösung des Problems 3. Einer seiner ersten Beiträge im Journal der IMS war die siebzehnseitige Abhandlung „Some Properties of Bernoulli’s Numbers“, in der er Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen beschrieb. Unter anderem zeigte er eine Methode auf, auf der Grundlage anderer Bernoulli-Zahlen durch Rekursionsrelationen auszurechnen.

Anfangs enthielten Ramanujans Texte noch zahlreiche Fehler. Der Herausgeber des Journals der IMS, M. T. Narayana Iyengar, kommentierte seine Veröffentlichungen folgendermaßen:

„Mr. Ramanujans Methoden waren so knapp und neuartig und seine Präsentation so mangelhaft in Klarheit und Präzision, dass Normale [mathematische Leser], an solch intellektuelle Gymnastik nicht gewöhnt, ihm kaum folgen konnten.“[3]

Im Januar des Jahres 1912 bewarb er sich erfolgreich um eine Arbeitsstelle im Generalbuchhaltungsbüro von Madras, wo er einen Monatslohn von 20 Indischen Rupien erhielt. Nach einigen Wochen bewarb er sich am 9. Februar beim Buchhaltungsbüro des Hafenamtes in Madras, wurde am 1. März 1912 angenommen und verdiente monatlich 30 Rupien. Die Arbeit fiel ihm leicht und er hatte Zeit für die Forschung. Sein Vorgesetzter, Sir Francis Spring und sein Kollege, S. Narayana Iyer, ebenfalls Mitglied der IMS, ermutigten ihn.

Kontakt mit europäischen Mathematikern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sir Francis Spring, S. Narayana Iyer, R. Ramachandra Rao und E. W. Middlemast bemühten sich, europäische Mathematiker für Ramanujans Arbeiten zu interessieren. Als erster meinte Micaiah John Muller Hill (1856–1929) vom University College London, dass er, obwohl er „einen Sinn für Mathematik und einiges Talent“ besitze, Mängel in Bildung und Kenntnissen habe, aufgrund derer seine Arbeit nicht von besseren Mathematikern akzeptiert werden würde. Hill gab ihm gut gemeinte Ratschläge für die Zukunft.

1912 schickte Ramanujan Briefe an Henry Frederick Baker und Ernest William Hobson, zwei führende Mathematiker an der Universität Cambridge. Die Adressaten schickten die Unterlagen kommentarlos zurück. Er schrieb dann den international bekannten Godfrey Harold Hardy an, ein Mathematiker, der ebenfalls in Cambridge am Trinity College lehrte. Sein neunseitiger Brief vom 16. Januar 1913, voll mit Formeln, begann mit den Worten:

„Sehr geehrter Herr,
ich bitte darum, mich Ihnen vorstellen zu dürfen als Angestellter der Buchhaltung in der Hafenverwaltung von Madras mit einem Jahreseinkommen von £ 20. Ich bin jetzt 26 Jahre alt. Ich habe keine abgeschlossene Universitätsausbildung, habe aber den üblichen Unterricht absolviert. […] Ich bitte Sie, die beigelegten Papiere durchzusehen. Da ich arm bin, möchte ich gerne meine Sätze veröffentlichen, falls Sie überzeugt sind, dass sie einen Wert haben.“

Hardy dachte zunächst an Hochstapelei. Er kannte einige Formeln, doch die meisten „schienen kaum glaubhaft“. Eine dieser für Hardy unverständlichen Formeln befand sich am Ende der dritten Seite des Briefes und lautete (gültig für 0<a<b+½):

Ebenso fasziniert war der englische Wissenschaftler von den Arbeiten Ramanujans über die unendlichen Reihen, wie etwa

und

Das erste Resultat war bereits länger bekannt, das zweite jedoch war Hardy völlig neu. Es leitete sich aus einer Klasse der hypergeometrischen Funktionen ab, die zuerst von Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß untersucht worden waren. Hardy fand Ramanujans Ansätze jedoch „sehr viel interessanter“.[4] Über die Theoreme auf der letzten Seite des Briefes äußerte er sich wie folgt:

„Es war mir bald klar, dass Ramanujan noch weit allgemeinere Sätze in seinem Besitz haben musste und dass er manches zurückhielt […] [Einige Formeln] erschlugen mich regelrecht; ich hatte zuvor nichts auch nur im Entferntesten Ähnliches zu Gesicht bekommen. Ein einziger Blick darauf genügte, um zu erkennen, dass nur ein Mathematiker allerhöchsten Ranges sie niedergeschrieben haben konnte. Sie mussten wahr sein, denn wären sie das nicht gewesen, so hätte kein Mensch die Phantasie besessen, sie zu erfinden. Schließlich […] musste der Verfasser absolut ehrlich sein, denn große Mathematiker sind häufiger als so unglaublich begabte Diebe und Scharlatane.“[5]

Hardy zeigte seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood den Brief Ramanujans. Auch Littlewood versetzten die Leistungen des Inders in Erstaunen. Nach einer Diskussion der beiden Engländer bemerkte Hardy, dass der Brief und die Formeln „sicher das Bemerkenswerteste [sind], das ich je erhalten habe“,[6] und dass Ramanujan „ein Mathematiker von der höchsten Qualität, ein Mann von sowohl außergewöhnlicher Originalität als auch Kraft“[6] sei. Ein weiterer Kollege Hardys, der in Chennai lehrende Eric Harold Neville, befand mit Blick auf die Theoreme und Formeln:

„Nicht eines hätte bei der weltweit fortschrittlichsten Untersuchung herausgefunden werden können.“[7]

Hardys Rückschreiben erreichte Ramanujan am 8. Februar 1913 in Chennai. In diesem Schreiben drückte der Brite sein Interesse an der Arbeit des Inders aus:

„Ich wünsche mehr […] und es ist unerlässlich, dass ich Beweise für einige Ihrer Behauptungen sehe.“

Schon in den ersten Februartagen, bevor Ramanujan den Brief erhalten hatte, bat Hardy die indischen Behörden, ihm die Reise nach Cambridge vorzubereiten. Nach der Ankunft des Briefes setzte sich Arthur Davies, der Sekretär des Advisory Committee for Indian Students, mit dem Inder in Verbindung, um die Überfahrt zu planen, doch dieser lehnte die Einladung nach Großbritannien ab, da er als orthodoxer Brahmane Angst hatte, er würde die Zugehörigkeit zu seiner Kaste verlieren, wenn er in ein fremdes Land ginge. Auch seine Mutter hatte Bedenken. Stattdessen sandte Ramanujan einen weiteren Brief mit Formeln an Hardy, dem er die Worte

„Ich habe in Ihnen einen Freund gefunden, der meine Arbeit mit Sympathie betrachtet.“

anfügte. Um Hardy zu unterstützen, besah sich auch der ehemalige Mathematikprofessor von Cambridge, Gilbert Walker, die Formeln und bat Ramanujan auch, nach England zu kommen. Auch der indische Mathematiker B. Hanumantha Rao wollte seinen Landsmann zur Reise überreden. Dazu lud er dessen Arbeitskollegen S. Narayana Iyer zu einem Gespräch der Bildungsbehörde, Fachbereich Mathematik ein, um herauszufinden, „was wir für S. Ramanujan tun können“. Bei diesem Treffen einigte man sich darauf, Ramanujan ein zweijähriges Forschungsstipendium an der University of Madras zu bewilligen. Pro Monat sollte er 75 Rupien erhalten.

Während seiner Zeit an der Universität veröffentlichte Ramanujan nebenbei weiterhin mathematische Probleme und deren Lösungen in der Zeitschrift der IMS. In dieser Zeit erarbeitete er Wege, bestimmte Integrale leichter zu lösen, überarbeitete die Integraltheorie von Giuliano Frullani aus dem Jahre 1821 und entwickelte Verallgemeinerungen für die Abschätzung zuvor scheinbar unlösbarer Integrale.

Hardy suchte in seiner Korrespondenz mit Ramanujan nach weiteren Gründen für dessen Weigerung zu verreisen und bat Neville, Ramanujan zu überzeugen. Neville sprach am 1. Januar 1914 mit dem indischen Mathematiker. Diesen plagten nun keine Zweifel mehr. Neville sagte zu diesem Treffen später:

„Ramanujan brauchte nun keine Umstimmung, und die Opposition seiner Eltern war gebrochen.“[7]

Vermutlich hatten Ramanujans Freunde seiner Mutter Komalatammal gut zugeredet. Angeblich habe die Familiengöttin Namagiri ihr im Traum geraten, zuzustimmen.[7]

Neville und Ramanujan bestiegen am 18. März 1914 (andere Quellen nennen den 17. März) im Hafen von Chennai die „SS Nevasa“ und liefen am 18. April in London ein, wo Hardy und Littlewood warteten und sie nach Cambridge fuhren. Er fand Unterkunft bei Neville in der Chesterton Road.

Wissenschaftlicher Erfolg in England[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den letzten Tagen des Mai zog Ramanujan in eine eigene Wohnung am Whewell’s Court, fünf Gehminuten von Hardys Büro entfernt. Unmittelbar nach seiner Ankunft nahm der Inder seine Arbeit auf. Zunächst zeigte er Hardy seine Notizbücher. Zwar hatte er dem Engländer in beiden Briefen zusammen etwa 120 Formeln geschickt, doch die Bücher enthielten noch wesentlich mehr Ansätze, Theoreme und Lösungen. Hardy erkannte, dass einige Rechnungen falsch und andere bereits entdeckt worden waren, doch die Mehrzahl waren neue Durchbrüche. Diese beeindruckten Littlewood und Hardy tief, und Ersterer meinte:

Trinity College (Great Court)

„Ich glaube, dass er mindestens ein Jacobi ist.“[8]

Auch Hardy zog Parallelen zwischen Ramanujan und Jacobi:

„[Ich] kann ihn nur mit Euler oder Jacobi vergleichen.“[9]

Zwischen Ramanujan und Hardy gab es jedoch gravierende charakterliche und kulturelle Unterschiede. Der Brite war Atheist und sah sich als Anhänger von Beweisen für Theorien sowie einer gewissen Strenge und Striktheit seiner Wissenschaft. Der Inder dagegen war ein tiefreligiöser Mensch, der zudem während seiner Arbeit vorwiegend auf seine Intuition vertraute und fast nie Beweise gab. Während der gemeinsamen Jahre versuchte Hardy zudem, die Wissens- und Bildungslücken, die Ramanujan in anderen Fachbereichen aufwies, zu verkleinern, ohne dabei jedoch seine mathematische Inspiration zu unterbrechen.

Im März des Jahres 1916 wurde Ramanujan der Bachelor of Arts für Wissenschaft verliehen. Der Abschluss wurde ihm für seine Forschung verliehen (Promotionen kamen in Cambridge erst ab 1917 auf und waren auch danach nicht unbedingt gefordert – einen höheren Status hatte die Fellowship eines Colleges) und war vor allem seiner Arbeit über hochzusammengesetzte Zahlen zu verdanken, die als Abhandlung in der Zeitschrift der London Mathematical Society veröffentlicht wurde.[10] Hardy meinte, diese Rechnungen zählten zu den bis dahin ungewöhnlichsten in der Mathematik, und dass Ramanujan sie mit außerordentlichem Scharfsinn bewältigte. Am 6. Dezember 1917 wählte man Ramanujan in die London Mathematical Society. Am 18. Februar 1918 wurde er zum Fellow of the Cambridge Philosophical Society ernannt. Drei Tage später erschien sein Name auf der Kandidatenliste für den Titel Fellow of the Royal Society (FRS). Er war von zahlreichen namhaften Mathematikern „für seine Untersuchung von elliptischen Funktionen und der Zahlentheorie“ vorgeschlagen worden. Unter anderem sprachen sich Hardy, Littlewood, Percy Alexander MacMahon, Joseph Larmor, Thomas John I’Anson Bromwich, Seth Barnes Nicholson, Alfred Young, Edmund Taylor Whittaker, Andrew Russell Forsyth und Alfred North Whitehead für ihn aus. Aber auch Hobson und Baker, jene Professoren, die Ramanujan noch fünf Jahre zuvor nicht geantwortet hatten, befürworteten die Kandidatur. Die Auszeichnung erfolgte am 2. Mai. Ramanujan war damit erst der zweite Inder, dem diese Ehre zuteil wurde, und einer der jüngsten Fellows. Noch im selben Jahr, am 10. Oktober, erhielt er zusätzlich noch den Titel Fellow of Trinity College Cambridge.

Ramanujan (Mitte) und Hardy (rechts außen) mit anderen Wissenschaftlern am Trinity College

Zwar unterliefen Ramanujan in seinen Intuitionsrechnungen immer wieder, zum Teil nur kleine, Fehler. Diese jedoch ließen ihn nicht unglaubwürdiger erscheinen. Im Gegenteil: Viele Wissenschaftler nahmen an, dass er doch in gewissem Sinne recht hatte – in seiner eigenen, tieferen, Richtigkeit, die sich ihnen nicht erschloss. Selbst Hardy meinte:

„Und doch bin ich nicht sicher, dass in einem gewissen Sinn sein Versagen nicht wunderbarer gewesen ist als alle seine Triumphe.“[11]

Trotz des wissenschaftlichen Erfolges und der Anerkennung durch Kollegen auf allen Kontinenten fühlte sich Ramanujan in Großbritannien nicht wirklich wohl. Auch lernte er nie, sich seinen Arbeitsalltag zu strukturieren. So soll er beispielsweise Berichten zufolge in stark schwankenden Intervallen gearbeitet haben. Mehrere Male habe er 30 Stunden durchgehend am Schreibtisch gesessen und dann 20 Stunden lang geschlafen. Diese Unregelmäßigkeiten zehrten an seiner Gesundheit. Zudem litt er unter dem ungewohnten rauen Wetter und hatte vermehrt Kreislaufprobleme. In Verzweiflung und aus Heimweh versuchte er, sich sogar vor eine Londoner U-Bahn zu stürzen. Passanten konnten ihn zurückhalten.

Krankheit, Rückkehr nach Indien und Tod[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ramanujan hatte zeitlebens gesundheitliche Probleme. Während seines Aufenthalts in England verschlechterte sich sein Zustand aus oben genannten Gründen, aber wohl auch wegen des Mangels an vegetarischer Kost während des Ersten Weltkrieges. So war er bereits zweimal an Bakterienruhr erkrankt, als man bei ihm sowohl Tuberkulose als auch eine Hypovitaminose diagnostizierte. Zur Kurierung dieser Krankheiten wurde er 1918 für kurze Zeit in einem Sanatorium behandelt. Ende November desselben Jahres sah Godfrey Harold Hardy jedoch bereits Anzeichen für eine physische Besserung des Gesundheitszustandes Ramanujans und schrieb in einem Brief:

„Ich denke, wir dürfen nun hoffen, dass er sich aus dieser schwierigen Lage befreit hat und auf dem Weg zu einer vollständigen Genesung ist. Seine Körpertemperatur hat aufgehört zu schwanken und er hat fast 14 Pfund zugenommen. Es hat nie ein Anzeichen für eine Verringerung seines außergewöhnlichen mathematischen Talents gegeben. Er hat selbstverständlich während seiner Krankheit weniger geschafft, aber die Qualität ist gleich geblieben. […] Er wird mit einem derart bedeutsamen Ansehen und Ruf nach Indien zurückkehren, wie sie noch kein Inder zuvor genossen hat, und ich bin zuversichtlich, dass Indien ihn als den Schatz betrachten wird, der er ist. Seine natürliche Unkompliziertheit und Bescheidenheit sind nicht im geringsten vom Erfolg beeinflusst worden – tatsächlich ist alles, was versucht wird, nur dazu da, um ihm zu zeigen, dass er der Erfolg ist.“

Wie im Brief angekündigt, reiste Ramanujan nach dem Ende des Krieges nach Indien zurück. Das Schiff legte am 27. Februar 1919 in England ab und erreichte Indien am 13. März. Er hielt sich einige Zeit in Chennai auf, bevor er weiter nach Kumbakonam reiste. Dort starb S. Ramanujan, mittlerweile in Mathematikerkreisen weltbekannt, am 26. April des folgenden Jahres im jungen Alter von nur 32 Jahren an Tuberkulose. Seine Witwe lebte bis zu ihrem Tod 1994 außerhalb von Chennai, wo sie später ihren Unterhalt überwiegend als selbständige Schneiderin verdiente (und eine kleine Rente der Universität Madras erhielt) und einen angenommenen Sohn einer verstorbenen Freundin (W. Narayanan) großzog.[12]

Der Arzt D. A. B. Young analysierte und überprüfte 1994 die Krankenakten und medizinischen Unterlagen Ramanujans, in denen auch die Symptome des Mathematikers niedergeschrieben worden waren, und kam zu dem Schluss, dass als Todesursache anstatt der Tuberkulose vermutlich eine Amöbenruhr anzusehen sei. Er stützte sich zur Untermauerung seiner These auf die Tatsache, dass diese Infektionskrankheit zu jener Zeit stark in Madras grassierte. Zudem war er der Meinung, dass Ramanujans Bakterienruhr nicht vollständig abgeklungen sei und die Erreger im Körper verblieben waren. So konnte sich die Amöbenruhr später umso schneller entwickeln.

Das Werk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ramanujan beschäftigte sich während der fünf Jahre in England hauptsächlich mit der Zahlentheorie. Dabei wurde er durch viele Summenformeln, die Konstanten wie die Kreiszahl π, Primzahlen und Partitionsfunktionen enthalten, berühmt und er war ein Meister der Behandlung von Kettenbrüchen. Unter anderem erstellte er eine sehr gute Näherungsformel für die Berechnung des Ellipsenumfangs. Bekannt wurde seine Näherungsformel für die Kreiszahl, die er noch 1914 veröffentlichte und mit deren Hilfe man in nur zehn Schritten 88 Stellen von π errechnen kann (Ausgangspunkt ist die unten angegebene Formel für ).[13] 1985 gelang es Bill Gosper auf diese Weise, π auf 17.000.000 Stellen hinter dem Komma auszurechnen. Insgesamt fand Ramanujan in Cambridge etwa 3.900 mathematische Resultate, in der Mehrzahl Identitätsgleichungen, von denen die meisten im Nachhinein bewiesen werden konnten.

In den Jahren der gemeinsamen Arbeit mit Hardy entstanden zahlreiche Werke über hochzusammengesetzte Zahlen, Mock-Thetafunktionen (Pseudo-Thetafunktionen) sowie die nach ihm benannte Vermutung über die tau-Funktion, die 1974 von Pierre Deligne bewiesen wurde. Gemeinsam bewiesen sie den Satz von Hardy und Ramanujan. Dieser Satz liefert die bis heute genaueste Schätzung für die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer ganzen Zahl.

Beispiele von Gleichungen, die Ramanujan fand, sind:



[14] … mit dem goldenen Schnitt


[14]



       für alle
Das magische Quadrat von Ramanujan. Gleichfarbige Felder ergeben die Summe von 139, die erste Zeile – unten rechts dargestellt – enthält sein Geburtsdatum.

Besondere Aufmerksamkeit fand die asymptotische Formel für die Partitionsfunktion (die die Anzahl der Zerfällungen einer natürlichen Zahl n angibt) von Hardy und Ramanujan (1918):[15]

.

Sie gibt zum Beispiel für n=1000 einen nur um 1,4 % zu hohen Wert an, der bei rund liegt. Weiter gaben sie sogar eine exakte Formel für die Partitionsfunktion an, bei der der obige asymptotische Wert das erste Glied ist. Das beeindruckte auch den englischen Spezialisten für Kombinatorik Percy Alexander MacMahon, der Tafeln für die Partitionsfunktion mit Hilfe einer Formel von Euler berechnet hatte. Die Formel von Ramanujan gab unmittelbar den Wert p(200), den MacMahon nach mühseligen Rechnungen tabelliert hatte. Die Arbeit zur Partitionsfunktion war auch der Ursprung der Kreismethode, die später von Hardy und Littlewood zu einer zentralen Methode der analytischen Zahlentheorie gemacht wurde.

Aufgrund seiner Arbeit wurden eine Reihe von mathematischen Konzepten nach ihm benannt:

Weiters sind die Ramanujan-Vermutung (über die Ramanujan-tau-Funktion), das offene Problem von Brocard und Ramanujan und der Ramanujan-Graph nach ihm benannt.

Ramanujan hat sich auch ein magisches Quadrat ausgedacht, bei dem die erste Zeile sein Geburtsdatum zeigt. Ein ganzes Kapitel des ersten Notizbuchs ist magischen Quadraten gewidmet.

Nicht alle Resultate Ramanujans waren richtig. In einem seiner ersten Briefe gab er eine Formel für die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer festen Zahl x in Form einer unendlichen Reihe an, die zwar für Werte bis etwa 1000 eine exakte Übereinstimmung ergab (und auch für weit höhere Werte noch eine relativ gute Näherung war), aber wie Littlewood fand, insgesamt nicht exakt war.[17] Die Formel war ähnlich der von Bernhard Riemann, nur dass Ramanujans Formel die komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionen nicht berücksichtigte.[18] Obwohl Ramanujan in der analytischen Zahlentheorie (und besonders der Primzahlverteilung) aufgrund seiner Kenntnismängel und der gerade hier – wo häufig scheinbar plausible Hypothesen sich im Nachhinein als falsch herausstellten –[19] wichtigen Notwendigkeit strenger Beweise zwangsläufig scheitern musste (Littlewood),[20] hielt Littlewood seine Beiträge dazu für eine seiner außerordentlichsten Leistungen. Littlewood äußerte einmal, dass jede positive ganze Zahl Ramanujans persönlicher Freund wäre.[21]

Ein Manko Ramanujans war, dass er nichts von der Theorie der Funktionen komplexer Variabler wusste (selbst seine Kenntnisse über elliptische Funktionen hatte er aus der eigenwilligen Darstellung des Lehrbuchs von Alfred George Greenhill),[22] wie Hardy noch in seinem Buch über Ramanujan konstatierte.[23] Später lernte er zwar etwas Funktionentheorie, benutzte aber zu Hardys Erstaunen nicht den Cauchyschen Integralsatz oder den Residuenkalkül, obwohl sie ihm als Formalisten hätten liegen müssen. Hardy charakterisierte Ramanujan als Meister der Manipulation algebraischer Formeln und unendlicher Reihen, die Hardy selbst bei keinem ihm bekannten Mathematiker gesehen hätte und die ihn nur mit Euler oder Jacobi vergleichbar machten.[24] Er arbeitete auch mehr als andere Mathematiker nach Hardy durch Induktion von numerischen Beispielen, zum Beispiel bei den von ihm entdeckten Kongruenzen der Partitionsfunktion. Nach Hardy vereinigte er ein außerordentliches Gedächtnis, Geduld und Ausdauer und außerordentliche rechnerische Fähigkeiten mit einer Fähigkeit zur Verallgemeinerung und zur raschen Änderung der von ihm aufgestellten Hypothesen sowie mit einem Gefühl für Form, die in Staunen versetzte und ihn auf seinem Gebiet zu seiner Zeit einzigartig machte.[25] Er sah es weniger als Tragödie an, dass Ramanujan früh verstarb (nach Hardy waren Mathematiker mit 30 Jahren sowieso schon relativ alt), als dass er in seinen frühen Jahren in Indien nicht gefördert wurde und so ein verzerrtes Bild der Mathematik erhalten hatte.[26] Nach Hardy wäre er trotz profunder und unbezwingbarer Originalität ein größerer Mathematiker geworden, wäre er in seiner Jugend etwas gezähmt worden,[27] dann aber weniger ein Ramanujan als ein europäischer Professor geworden, und der Verlust wäre möglicherweise größer als der Gewinn gewesen.[28] Hardy schrieb[29], dass er oft gefragt würde, ob Ramanujan ein spezielles Geheimnis und „abnorme“ Methoden gehabt hätte, die ihn von anderen Mathematikern abhoben. Zwar könne er das nicht mit Sicherheit beantworten, glaube es aber nicht.[30]

Sonstige Interessen und Ansichten Ramanujans[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Er hatte sehr geringe Interessen an Literatur und Kunst,[31] konnte aber nach Hardy gute von schlechter Literatur unterscheiden. Seine Englischkenntnisse waren so begrenzt, dass er kein Examen hätte bestehen können,[32] und er konnte keine deutschen oder französischen mathematischen Abhandlungen lesen. Er war nach Hardy sehr an Philosophie interessiert und hatte starke und engagiert vorgetragene politische Überzeugungen (nach Hardy war er Pazifist und politisch ultra-radikal). Er sah zwar nach Hardy sehr auf die Einhaltung seiner religiösen Konventionen, war aber nicht tief religiös, sondern äußerte ihm gegenüber, dass alle Religionen mehr oder weniger gleich wären. Weiter hatte er Hardy zufolge in allen Bereichen ein Interesse am Ungewöhnlichen, Unerwarteten und Merkwürdigen und besaß eine kleine Sammlung von Büchern von Kreisquadrierern und anderen Cranks (Hardy).

Nachlass, Notizbücher, Ehrungen und Nachleben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ramanujans persönliche Aufzeichnungen waren teilweise für einige Jahre verschollen. Seine Witwe gab die vier Notizbücher und einige wenige Manuskripte nach seinem Tod an die University of Madras. Drei Jahre später sandte der dortige Registrar Francis Drewsbury diese an Godfrey Harold Hardy an die Universität von Cambridge (das Original des ersten und zweiten Notizbuchs kehrte später wieder an die Universität Madras zurück, aber nicht alle übersandten Schriften Ramanujans, darunter auch nicht das Verlorene Notizbuch). Ursprünglich war eine Veröffentlichung der Notizbücher schon mit den Collected Papers 1927 geplant, kam aber aus finanziellen Gründen nicht zustande. 1929 planten Bertram Martin Wilson und George Neville Watson eine Herausgabe der Notizbücher, was aber durch Wilsons Tod 1935 zum Erliegen kam (1957 veröffentlichte das Tata Institute for Fundamental Research in Bombay eine photostatische Kopie in zwei Bänden, mit dem ersten, zweiten und dritten Notizbuch). Irgendwann Ende der 1930er Jahre verlor Watson das Interesse an der Herausgabe, seine Notizen und die von Wilson dienten aber später Berndt und Andrews bei deren Edition und Watson veröffentlichte über Material aus den Notizbüchern.[33] Die Notizbücher wurden später durch George E. Andrews und Bruce Berndt herausgegeben. Eines der Notizbücher – das vierte – ist als Verlorenes Notizbuch bekannt (Lost Notebook). Nach Watsons Tod im Jahre 1965 untersuchte Robert Alexander Rankin dessen Nachlass und schickte die dort noch vorhandenen Ramanujan’schen Schriften am 26. Dezember 1968 an die Wren Library des Trinity College. Dort wurde das Lost Notebook, das in einer Schachtel mit ehemals Watson gehörenden Gegenständen lag, im Frühling des Jahres 1976 von George E. Andrews wiedergefunden. Die vier Bücher und die Manuskripte enthielten insgesamt 3000 bis 4000 von Ramanujan[34] aufgestellte mathematische Formeln (im ersten Notizbuch 759 Resultate). Zu keiner jedoch war ein Beweis beigefügt.[35] Gemeinsam mit Bruce Berndt, einem Mathematiker von der University of Illinois at Urbana-Champaign, bewies Andrews einen großen Teil der Formeln (unter Benutzung von Unterlagen von Wilson und Watson und unter Beteiligung weiterer Mathematiker). Berndt äußerte sich folgendermaßen über die Entdeckung der Notizbücher:

„Die Entdeckung dieses verlorenen Notizbuches verursachte ungefähr so viel Aufruhr in der mathematischen Welt, wie die Entdeckung von Beethovens zehnter Symphonie in der musischen Welt verursachen würde.“[36]

Das zweite Notizbuch ist eine Erweiterung und Bearbeitung des ersten Notizbuchs und entstand vor Ramanujans Aufenthalt in England. Beide haben über 300 Seiten und sind zum großen Teil thematisch geordnet (im Zweiten Notizbuch 21 Kapitel von 256 Seiten und rund 100 Seiten nicht organisiertes Material). Rund 120 Ergebnisse teilte er Hardy brieflich mit (wobei vom ersten Brief eine Seite fehlt). Das dritte Notizbuch besteht aus nur 33 Seiten. Das Lost Notebook entstand nach Ramanujans Rückkehr nach Indien und enthält unter anderem Material zu den Mock-Thetafunktionen, Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen und q-Reihen.

Am 22. Dezember 1987 (Ramanujans 100. Geburtstag) wurde Ramanujan’s Lost Notebook im mit dem Springer-Verlag vernetzten Narosa Publishing House veröffentlicht. Die ersten beiden Exemplare des Buches händigte der damalige indische Premierminister Rajiv Gandhi an S. Janaki Ammal Ramanujan, die Witwe des Mathematikers, und an George E. Andrews aus. Zu einigen Formeln konnten allerdings bis heute keine Beweise gefunden werden und Mathematiker rätseln noch immer über ihre Bedeutung.

Seit 2005 werden in Gedenken an Ramanujan der ICTP Ramanujan Prize sowie der SASTRA Ramanujan Prize verliehen.

Ehrungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jahre nach Ramanujans Tod wurde Hardy in einem Gespräch mit dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős von diesem gefragt, worin sein größter Beitrag zur Mathematik bestehe. Der Engländer antwortete, ohne zu zögern, es handele sich um die Entdeckung Ramanujans; er nannte sie „den einzigen romantischen Vorfall in meinem Leben“.[37] Zusätzlich bemerkte er:[38]

„Man hat mich oft gefragt, ob Ramanujan ein besonderes Geheimnis besessen habe, ob seine Methoden anders als die anderer Mathematiker gewesen seien, ob seine Denkweise nicht eigentlich abnorm gewesen sei. Ich kann diese Frage nicht mit Zuversicht oder Überzeugung beantworten, glaube es aber nicht. Vielmehr glaube ich, dass alle Mathematiker im Grunde in der gleichen Weise denken und dass Ramanujan keine Ausnahme darstellt. Sein Gedächtnis und seine rechnerischen Fähigkeiten waren sehr ungewöhnlich, aber abnorm konnte man sie wohl nicht nennen. Wenn er zwei große Zahlen zu multiplizieren hatte, tat er das auf die übliche Weise; er konnte das mit ungewöhnlicher Geschwindigkeit und Genauigkeit tun, aber nicht schneller und genauer als irgendein Mathematiker, der von Natur aus flink und ans Rechnen gewöhnt ist. Mit seinem Gedächtnis, seiner Geduld und seiner rechnerischen Begabung kombinierte er ein Verallgemeinerungsvermögen, ein Gefühl für Form und eine Fähigkeit, seine Hypothesen rasch zu modifizieren, die oft wirklich verblüffend waren, so dass er in seiner Zeit auf seinem Gebiet ohne Rivalen war. [Sein Werk] hat nicht die Einfachheit und die Zwangsläufigkeit von mathematischer Arbeit höchsten Ranges; wäre es größer, wäre es weniger exotisch. Er hat eine Gabe, die niemand ihm absprechen kann: tiefe und unbesiegbare Originalität. Er wäre vermutlich ein größerer Mathematiker geworden, wäre er in seiner Jugend an die Hand genommen und etwas gezähmt worden: Er hätte mehr Neues entdeckt und ohne Zweifel Wichtigeres. Andererseits wäre er weniger er selbst, Ramanujan, gewesen, sondern eher ein europäischer Professor, und der Verlust wäre vielleicht größer gewesen als der Gewinn.“[11]

Die wichtigsten Auszeichnungen, die Ramanujan entgegennehmen konnte, waren:

  • 1904: K. Ranganatha Rao prize for mathematics
  • 6. Dezember 1917: Mitglied der London Mathematical Society
  • 18. Februar 1918: Fellow of the Cambridge Philosophical Society
  • 2. Mai 1918: Fellow of the Royal Society
  • 10. Oktober 1918: Fellow of Trinity College Cambridge

Doch auch postum erhielt er diverse Ehrungen. So ließ die indische Regierung im Jahre 1962 eine Briefmarke mit dem Konterfei Ramanujans drucken, um an seinen 75. Geburtstag zu erinnern. Heutzutage ziert der Mathematiker viele verschiedene indische Briefmarken. Im indischen Bundesstaat Tamil Nadu, Ramanujans Heimatstaat, feiert man jedes Jahr am 22. Dezember, seinem Geburtstag, den so genannten State IT Day. Damit soll an die Wurzeln dieses Wissenschaftlers und seine Herkunft aus Tamil Nadu erinnert werden. Das Haus in der Saarangapani Street in Kumbakonam, in dem Ramanujan zusammen mit seiner Familie den größten Teil seiner Kindheit verbracht hat, beherbergt heute ein umfangreiches Museum über den Mathematiker.

Der am 17. Februar 1988 entdeckte Asteroid (4130) Ramanujan wurde 1989 nach ihm benannt.[39]

Ramanujan als Symbol in der modernen Unterhaltungskultur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In dem 1997 entstandenen Film Good Will Hunting von Gus van Sant kommt das Verhältnis von Ramanujan und Hardy ebenfalls zur Sprache, weil das Verhältnis zwischen Will Hunting (gespielt von Matt Damon) und dem Mathematikprofessor Gerald Lambeau (gespielt von Stellan Skarsgård) ein ähnliches ist.

Die US-Krimiserie Numbers – Die Logik des Verbrechens verlieh den bedeutungsvollen Namen einer indischstämmigen Mathematikdoktorandin, die sich auf Kombinatorik spezialisierte.[40]

Auch im Theater war der Mathematiker präsent. So handelte das Drama First Class Man, basierend auf dem gleichnamigen Roman von David Freeman, von Ramanujan und seiner Arbeitsbeziehung zu Godfrey Harold Hardy. Bereits am 21. April 1998 wurde die Oper Ramanujan des deutsch-indischen Komponisten Sandeep Bhagwati über das Leben des Mathematikers im Münchner Prinzregententheater uraufgeführt.[41]

2016 erschien der Spielfilm Die Poesie des Unendlichen (englisch: The Man Who Knew Infinity) des Regisseurs Matthew Brown mit dem englischen Schauspieler Dev Patel in der Rolle von Srinivasa Ramanujan und Jeremy Irons als G. H.  Hardy.

Anekdoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existieren Anekdoten, die die rechnerischen Leistungen Ramanujans zum Ausdruck bringen. Das erste Beispiel[42] stammt von Hardy, der nach Ramanujans Tod erzählte:

„… abgesehen von der üblichen zweistündigen Bahnfahrt nach London war Putney nur eine Taxifahrt weit entfernt. Als er einmal im Taxi von London saß, bemerkte Hardy dessen Nummer 1729. Er muß wohl ein bißchen darüber nachgedacht haben, denn er betrat das Zimmer, wo Ramanujan im Bett lag, und ohne ihn richtig zu begrüßen, platzte er mit seiner Enttäuschung heraus. Dies sei, behauptete er, ‚eine nichtssagende Zahl‘, und er hoffe, daß dies kein schlechtes Omen sei. ‚Nein, Hardy‘, erwiderte Ramanujan, ‚es ist eine sehr interessante Zahl. Es ist nämlich die kleinste natürliche Zahl, die man auf zwei verschiedene Weisen als Summe von zwei Kubikzahlen ausdrücken kann.‘“[43]

Tatsächlich ergibt sowohl als auch die Zahl 1729. Hardy fragte ihn daraufhin, ob er auch die Antwort auf das entsprechende Problem für vierte Potenzen wisse. Nach kurzem Nachdenken antwortete Ramanujan, ohne Weiteres falle ihm kein Beispiel ein, aber er glaube, die erste derartige Zahl müsse sehr groß sein. In der Tat ist die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Biquadrate darstellen lässt, deutlich größer und lautet 635.318.657. Die entsprechenden Potenzensummen sind sowie .

Die zweite Geschichte hat Ramanujans Freund aus Cambridge, Prasanta Chandra Mahalanobis, überliefert:

„Ein anderes Mal ging ich auf sein Zimmer, um mit ihm zu Mittag zu essen. Kurz zuvor war der Erste Weltkrieg ausgebrochen. Ich hatte ein Exemplar der Monatsschrift Strand Magazine in der Hand, die damals eine Anzahl von Denksportaufgaben zu publizieren pflegte, die der Leser lösen sollte. Ramanujan rührte etwas auf dem Feuer für unsere Mahlzeit. Ich saß nahe am Tisch, blätterte in der Zeitschrift und begann, mich für ein Problem zu interessieren, das eine Beziehung zwischen zwei Zahlen zum Gegenstand hatte. Die Einzelheiten habe ich vergessen, aber ich entsinne mich der Art des Problems. Zwei englische Offiziere waren in Paris in zwei verschiedenen Häusern in einer langen Straße einquartiert. Die Hausnummern standen in einer besonderen Beziehung zueinander; das Problem war, die beiden Zahlen zu finden. Schwierig war es keinesfalls; ich fand die Lösung nach ein paar Minuten des Herumprobierens.
Ich (scherzend): ‚Hier ist ein Problem für Sie.‘
Er: ‚Was für ein Problem?‘ (Er rührte weiter in seinem Topf.)
Ich las das Problem aus dem Strand Magazine vor.
Er: ‚Bitte notieren Sie die Lösung.‘ (Er diktierte einen Kettenbruch)
Der erste Term war die Lösung, die ich gefunden hatte, jeder weitere Term stellte sukzessive Lösungen für die gleiche Beziehung dar, wenn die Straße unendlich verlängert wurde. Ich war erstaunt.
Ich: ‚Kam Ihnen die Lösung blitzartig?‘
Er: ‚Sobald ich das Problem gehört hatte, war mir klar, dass die Lösung offensichtlich ein Kettenbruch war; dann dachte ich: welcher Kettenbruch? – und die Antwort fiel mir ein. So einfach war das.‘“[11]

Schriften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Godfrey Harold Hardy: Obituary, S. Ramanujan. Nature, 1920.
  • Godfrey Harold Hardy: Ramanujan – Twelve Lectures on the Subjects Suggested by His Life and Work. Chelsea Publishing Co, 1940, 1978 ISBN 0-8284-0136-5.
  • Robert Kanigel: Der das Unendliche kannte. Vieweg-Verlag, 1995, ISBN 3-528-16509-X, deutsche Übersetzung durch Albrecht Beutelspacher von The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. Charles Scribner’s Sons, New York 1991. ISBN 0-684-19259-4.
  • Eric Harold Neville: Srinivasa Ramanujan. Nature, 1942.
  • S. R. Ranganathan: Ramanujan: the Man and the Mathematician. UBS Publishers Distributors, 1967, ISBN 978-81-85273-37-2.
  • P. K. Srinivasan: Ramanujan Memorial Number: Letters and Reminiscences. 1968.
  • Suresh Ram: Srinivasa Ramanujan. National Book Trust, 1972.
  • K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan – A Mathematical Genius. East West Books, 1998.
  • George E. Andrews (Hrsg.): Ramanujan revisited. (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988
  • George E. Andrews, Robert Alexander Rankin: Ramanujan: Essays and Surveys. American Mathematical Society, 2001, ISBN 978-0-8218-2624-9.
  • Bruce C. Berndt: An Overview of Ramanujan’s Notebooks. In: Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe. (Hrsg. P. L. Butzer, W. Oberschelp, H. Th. Jongen), Turnhout, 1998. S. 119–146.
  • Berndt, Bhargava: Ramanujan for lowbrows. American Mathematical Monthly, Band 100, 1993, S. 644.
  • Don Zagier: Ramanujan an Hardy. Vom ersten bis zum letzten Brief. Mitteilungen DMV, Band 18, 2010, S. 21–28, pdf.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Srinivasa Ramanujan – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kanigel (1995), Seite 24.
  2. Srinivasan (1968), Seite 129.
  3. P. V. Seshu Iyer: The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S. Juni 1920. In: Journal of the Indian Mathematical Society 12 (3). 83.
  4. Kanigel (1991), Seite 167.
  5. Kanigel (1991), Seite 168.
  6. a b Hardy (1920), S. 494–495.
  7. a b c Neville (1942), Seite 293.
  8. I can believe that he is at least a Jacobi. Brief an Hardy 1913.
  9. Godfrey Harold Hardy: Collected Papers of G. H. Hardy. Clarendon Press, 1979, Seite 720.
  10. Ramanujan: On highly composite numbers. Proc. London Math. Soc., Series 2, Band 14, 1915, S. 347–400. Aus finanziellen Gründen konnte Ramanujans Aufsatz damals nicht vollständig veröffentlicht werden, das unveröffentlichte Material erschien in Ramanujan: The lost notebook and other unpublished papers. Narosa Publ. House, Springer, New Delhi 1988 und in Jean-Louis Nicholas, Guy Robin (Herausgeber und Anmerkungen), Ramanujan: Highly composite numbers. Ramanujan Journal, Band 1, 1997, S. 119–153, PDF.
  11. a b c Kurzbiographie Ramanujans auf einer privaten Homepage.
  12. Ramanujan´s wife Janakiammal (Janaki). PDF.
  13. Ramanujan: Modular equations and approximations to . In: Quarterly Journal of Mathematics. Band 45, 1914, S. 350–372, siehe auch Jonathan Borwein, Peter Borwein, D. H. Bailey, Ramanujan: Modular equations and approximations to pi or how to compute one billion digits of pi. In: American Mathematical Monthly. Band 96, 1989, S. 201–219. pdf.
  14. a b Eric W. Weisstein: Ramanujan Continued Fractions. In: MathWorld (englisch).
  15. Hardy, Ramanujan: Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis. Proc. London Math. Soc., Band 17, 1918, S. 75–115, pdf.
  16. Anneliese Odenthal: Kölner Wissenschaftlerin entschlüsselt mathematische Geheimsprache. Bei: idw-online.de. 2. Juli 2009.
  17. Kanigel: The man who knew infinity. S. 218.
  18. Brief von Hardy an Ramanujan vom 26. März 1913. Nach Bruce Berndt, Robert Rankin: Ramanujan, Letters and Commentary. AMS S. 77.
  19. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 19, the analytical theory of numbers is one of those exceptional branches of mathematics in which proof really is everything and nothing short of absolute rigor counts
  20. Littlewood: A mathematician’s miscellany. Methuen 1953, S. 87, Besprechung der Collected Papers von Ramanujan.
  21. Hardy, in Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge University Press, 1927, S. XXXV.
  22. Littlewood: A mathematician’s miscellany. Hardy schrieb dagegen (Ramanujan, 1940, S. 10), er wüsste nicht genau, woher Ramanujans Kenntnisse auf diesem Gebiet stammen und ob er Greenhill oder Cayley gelesen hätte und bedauerte, Ramanujan damals nicht gefragt zu haben.
  23. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 14. Analysis proper Ramanujan’s work is less impressive, since he knew no theory of functions, and you cannot do real analysis without it.
  24. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXV.
  25. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXV. Nochmals zitiert und von Hardy bestätigt in Hardy: Ramanujan. 1940, S. 14, He was by far the greatest formalist of his time, auch wenn die große Zeit der Formeln in der Mathematik schon rund 100 Jahre vorbei wäre.
  26. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 6, during his five unfortunate years, his genius was misdirected, sidetracked and to an certain extent distorted.
  27. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXVI.
  28. Diesen Zusatz aus seinem Vorwort zu Ramanjans Collected Papers tat Hardy später in seinem Buch Ramanujan von 1940, S. 7, allerdings als lächerliche Sentimentalität seinerseits ab.
  29. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXV.
  30. Hardy: „My belief is that all mathematicians think, at bottom, in the same kind of way, and that Ramanujan was no exception.“
  31. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXI, zu seinen außermathematischen Interessen.
  32. Hardy in: Collected Papers. S. XXV.
  33. Die Geschichte der Notizbücher ist im Vorwort der Ausgabe von Berndt und Andrews dargestellt. Siehe auch Berndt: An overview of Ramanjuans notebooks. PDF.
  34. Schätzung von Hardy, durch Berndt bestätigt. Berndt: An overview of Ramanjuans notebooks. PDF. Danach gab es 3254 Resultate in den Notizbüchern, mit Interpretationsspielraum bei der Zählung. Nach Berndt war mindestens die Hälfte der Resultate neu (und nicht ein Drittel, wie Hardy schätzte).
  35. Oder bei fast keinem, etwa 10 bis 20 Resultate enthielten eine Beweisskizze (Berndt), manchmal nur aus einem Satz bestehend.
  36. „Raiders of the Lost Notebook“. Englischer Text über den Versuch, die Formeln der Notizbücher zu beweisen.
  37. Hardy: Ramanujan. Cambridge University Press, 1940, S. 2, I owe more to him as to anyone else in the world with one exception, and my association with him is the one romantic incident in my life.
  38. Englisches Original im Vorwort von Hardy zu den Collected Papers von Ramanujan, Cambridge University Press 1927, S. XXXV.
  39. Minor Planet Circ. 15261.
  40. Amita Ramanujan in der US-TV-Serie Numb3rs.
  41. Ulrich Möller-Arnsberg: Die Münchner Biennale 1998. Das Eigene im Fremden – das Fremde im Eigenen. In: GEMA-Nachrichten 157. Juni 1998, archiviert vom Original am 7. Januar 2002, abgerufen am 2. Dezember 2010..
  42. The Hardy-Ramanujan Number. (Memento vom 28. Mai 2013 im Internet Archive).
  43. Kanigel (1995), Seite 276.