Diskussion:Interpolation (Mathematik)

Generiische Überschrift

IMHO ist die gebräuchlichste Verwendung von "Interpolation" im Bereich der numerischen Mathematik zu finden. Auch google liefert in allererster Linie Ergebnisse zu diesem Bereich. Hatte mir das schon mal vorgenommen zu schreiben, bin aber über folgendes nicht hinausgekommen:

Die Interpolation ist ein Themengebiet der numerischen Mathematik.
Bei der Interpolation wird eine Funktion (die Interpolierende) gesucht, die gegebene Daten (die sog. Stützstellen) interpoliert, dh. die eine approximative Lösung der ursprünglichen Funktion liefert. Somit lassen sich Funktionswerte bestimmen die zwischen den Stützstellen liegen.

Anwendungsgebiete der Interpolation finden sich in allen naturwissenschaftlichen Fächern.

Verfahren der Interpolation

• Polynominterpolation
• trigonometrische Interpolation
• Spline

--ecki 15:49, 6. Jul 2003 (CEST)

Interpolation und Approximation

Offenbar gibt es eine gewisse Begriffsverwirrung zwischen "Interpolation" und "Approximation".

@DaTroll: Wenn Interpolation ein Spezialfall von Approximation ist, warum schreibst du das dann nicht? "Die Hoffnung ist hierbei, dass die Interpolante insgesamt eine gute Approximation an die Funktion darstellt". Welche Funktion? Diese Funktion ist a priori unbekannt, also gibt es auch kein Kriterium für eine "gute" Approximation. --JunK 16:27, 2. Aug 2004 (CEST)

Die Funktion die vorher genannt wurde. Die Daten kommen ja irgendwoher und fallen nicht vom Himmel. Hinter den Daten steht also irgendeine Funktion, die ich nicht kenne, aber gerne kennen wuerde. Ich interpoliere nicht, um die Daten represaentieren, die ich schon habe (die zu interpolierenden Funktionswerte), sondern um eine Approximation an die Daten zu kriegen, die ich noch nicht habe. Dass es kein Kriterium fuer eine gute Approximation gibt, stimmt so nicht: In Abhaengigkeit von der unbekannten Funktion und den Ansatzfunktionen lassen sich quantitative und qualitative Fehlerabschaetzungen fuer den Interpolationsfehler herleiten. Bei Polynominterpolation sieht man dann auch, dass diese meist nicht besonders gut sind, weswegen ja Spline-Interpolation das Mittel der Praxis ist. Viele Gruesse --DaTroll 16:36, 2. Aug 2004 (CEST)

Leider ist die Situation in der Praxis nicht so einfach wie in den Lehrbüchern. Die Daten können sehr wohl "vom Himmel fallen". Die Stützstellen in den Bildern habe ich frei erfunden, es steht keine Funktion dahinter (genausogut hätte ich die Lottozahlen von letzten Mittwoch nehmen können, das macht für die Interpolation keinen Unterschied). Und sofern ich keine a-priori-Information über die "Funktion die dahintersteht" reinstecke, kann ich die Güte der Interpolation nicht beurteilen. Meistens verwendet man dazu Stetigkeitsanforderungen oder das Abtasttheorem, daher ist die Spline-Interpolation so populär. Das garantiert mir aber nicht, dass die "Funktion, die dahintersteht" (falls es sie überhaupt gibt) nicht wirklich ein Polynom x-ten Grades ist. In Abhängigkeit von einer unbekannten Funktion kann ich gar nichts herleiten.

Übrigens bezog sich mein Nebensatz über die Approximation, den du so geflissentlich gelöscht hast, auf die Stützstellen.

Ich bin die nächsten 2 Wochen im Urlaub, anschließend werde ich ein Beispiel hinzufügen. Vielleicht wird die ganze Sache dann klarer. Grüße, --JunK 23:31, 3. Aug 2004 (CEST)

Nein, da muss ich Dir widersprechen: Daten fallen nicht vom Himmel. Sie kommen irgendwoher. Eine Messung ist nichts anderes als eine Funktionsauswertung (nur dass die Funktion unbekannt ist bzw. nicht analytisch verfuegbar). Eigenschaften der Funktion bzw. der zugrundeliegenden Gleichungen liegen aber immer vor. Ist sie stetig? Positiv? Differenzierbar? Kann man den Wertebereich einschraenken? Und selbstverstaendlich kann man dann auch die Approximationsguete der Interpolante bewerten.

Dein Nebensatz ueber die Approximation war halt einfach falsch. Interpolation ist nichts anders als die offensichtlichste (und haeufig halt auch nicht besonders gute) Art mit Hilfe eines Satzes von Daten, eine Funktion zu approximieren. Eine Approximation der Stuetzstellen muss ich nicht vornehmen: ich kenne sie doch schon. Es geht also nur darum, die Zwischenraeume irgendwie sinnvoll auszufuellen. Viele gruesse --DaTroll 13:10, 4. Aug 2004 (CEST)

Bin wieder da!! Also, ich glaube wir reden aneinander vorbei. Möglicherweise liegt das auch daran, dass der mathematische Sprachgebrauch bei "interpolieren" und "approximieren" etwas verwirrend ist. Ich halte mal folgende Fakten fest:

1. Gegeben ist ein Satz von Punkten ("Daten"). Woher diese Daten stammen, ist für das mathematische Verfahren völlig ohne Belang.
2. Durch diese Punkte will ich eine Kurve legen.
3. Wenn die Kurve exakt durch die Punkte geht, spricht von von Interpolation der Stützstellen. Klingt komisch, ist aber so. Wenn die Kurve nur nahe an die Punkte herankommt, spricht man von Approximation der Stützstellen. Wenn du mir nicht glaubst, kannst du in jedem beliebigen Buch über numerische Mathematik nachschauen.
4. Was zwischen den Stützstellen passiert, ist für das mathematische Verfahren ebenfalls ohne Belang.

Nun gibt es neben der rein mathematischen Sichtweise auch noch die Sichtweise des Anwenders. Für die meisten Anwendungen möchte man eine glatte, differenzierbare usw. Kurve haben. Daher sind einige Interpolationsverfahren für manche Anwendungen besser geeignet als andere. Was nützt mir die schönste B-Spline-Interpolation, wenn meine unbekannte Funktion nun tatsächlich ein Polynom 9. Grades ist? In der Oberflächenmesstechnik z.B. gibt es raue Oberflächen, die sind im mikroskopischen Bereich von Natur aus nicht glatt und schon gar nicht analytisch. Wenn ich nun irgendwelche Messpunkte interpolieren will, kann ich nie mit Sicherheit sagen, was zwischen diesen Messpunkten passiert. Wenn ich plötzlich einen Peak entdecke: Sieht das Werkstück tatsächlich so aus oder ist es nur ein Artefakt meines Interpolationsverfahrens? Ich muss Annahmen über die unbekannte Funktion treffen, wenn ich die Interpolationsgüte beurteilen will, sonst habe ich keine Chance.

Grüße, --JunK 17:19, 23. Aug 2004 (CEST)

Ich hoffe mal, daß der Urlaub nett war. In der Zwischenzeit habe ich meine Einleitung nochmal überarbeitet. Vielleicht gefällt es Dir jetzt besser. Ansonsten kann ich nur sagen: je länger ich lese was Du da schreibst, desto weniger verstehe ich, was Du eigentlich sagen willst. Naja, mal zu den letzten Sachen: Daß eine Interpolationsfunktion die Stützstellen interpoliert und nicht approximiert, braucht nicht näher erwähnt zu werden. Ich schreibe ja auch von Approximation von Funktionen.

Naürlich gibt es extreme Fällen, in denen über die Approximationsgüte nichts gesagt werden kann. Dann ist aber auch die Interpolation nicht besonders aussagekräftig. Was ist also Dein Punkt? --DaTroll 21:40, 23. Aug 2004 (CEST)

Mein Punkt ist, dass ich mir eine mathematisch saubere Definition wünsche. Was ist daran so schwer zu verstehen? Dass eine Interpolationsfunktion die Stützstellen interpoliert und nicht approximiert, sollte deshalb erwähnt werden, weil das ja genau der Unterschied zwischen Interpolation und Approximation ist. Das "Extrembeispiel" habe ich gebracht, weil dein Argument war, dass man in jedem Fall etwas über die Approximationsgüte aussagen kann (siehe oben). Und zuletzt: Der Satz "Die Hoffnung ist hierbei, dass die Interpolante insgesamt eine gute Approximation an die den Daten zugrunde liegende unbekannte Funktion darstellt." gefällt mir deshalb nicht so gut, weil er genau das impliziert. Grüße, --JunK 17:55, 24. Aug 2004 (CEST)

Die Definition wie sie jetzt da steht ist mathematisch sauber. Dass eine Interpolationsfunktion die Daten interpoliert und nicht approximiert ist eine Tautologie. Das muss man nicht extra erwaehnen. Viel wichtiger ist, dass ein Interpolationsverfahren immer ein Verfahren fuer Funktionsapproximation ist. Um mich zu wiederholen: der Sinn des ganzen ist doch nicht, die Daten die ich schon habe darzustellen, sondern das, was ich noch nicht habe. Oder, auch eine haeufige Anwendung, um eine gegebene Funktion vereinfacht darzustellen.

Um nochmal auf Dein Beispiel zurueckzukehren: nach Nachdenken muss ich meine Aussage zuruecknehmen. Klar kann man was sagen: Die gesuchte Funktion ist stetig und beschraenkt. Entsprechend kann man bewerten, ob die Interpolante fuer das Problem was man im Hinterkopf hat (es ist ja immer die Frage, was man mit der Interpolante eigentlich machen will) eine sinnvolle Approximation ist. Oder ob man vielleicht doch lieber Least Squares oder etwas anderes nehmen sollte. --DaTroll 10:54, 25. Aug 2004 (CEST)

Wenn ist sage: "Die Funktion interpoliert die Daten", so ist das nicht das gleiche als wenn ich sage "Die Funktion approximiert die Daten". Die Interpolationsbedingung ist nämlich schärfer als die Approximationsbedingung (z.B. bei Least Squares). Ich habe nie behauptet, dass ich "die Daten darstellen will, die ich schon habe". Warum wiederholst du das so hartnäckig? Ich glaube inzwischen, du willst nicht wirklich Approximation sagen, sondern Modellierung. Können wir uns auf diesen Begriff einigen? Ich habe dem Artikel eine "Einführung" vorangestellt, die all das hier zusammenfasst. Gruß, --JunK 17:20, 25. Aug 2004 (CEST)

Immerhin hast Du gemerkt, dass ich was widerholt habe. Die ganze Zeit reite ich auf dem Unterschied zwischen "Approximation der Daten" und "Approximation von Funktionen" rum. Und dann schreibst Du in den Artikel "Interpolation ist ein Spezialfall der Approximation. Aber im Gegensatz zu Approximationsverfahren..." --DaTroll 10:55, 26. Aug 2004 (CEST)

Ich glaube, wir kommen der Sache jetzt langsam näher. Ich habe immer nur von Approximation als Approximation der Daten gesprochen, im Gegensatz zu Interpolation der Daten. Über die Approximation der Funktion kann ich ohne Zusatzinformation nichts aussagen. Ich habe deine Variante nochmal geändert: eine "gegebene (meist unbekannte) Funktion" ist natürlich Käse; wenn eine Funktion gegeben ist, dann muss ich sie nicht mehr interpolieren. Das ganze Problem stellt sich ja nur dann, wenn die Funktion unbekannt ist. Es gibt im Allgemeinen keine "gegebene Funktion f", mit der ich die Interpolante vergleichen kann. --JunK 13:15, 27. Aug 2004 (CEST)

Du hast echt keine Ahnung. Und wirst immer wieder beleidigend. Und vermutlich merkst Du das noch nicht mal. Nimm Dir mal ein paar Buecher ueber Numerik und setz Dich auf den Hosenboden, dann kannst Du hier mitdiskutieren.

Die "gegebene (meist unbekannte) Funktion" ist alles andere als "Kaese". Wie ich in der Einleitung und auch hier in der Diskussion schon geschrieben habe, gibt es mehrere Szenarien. i) Ich kenne die Funktion nicht, sondern nur einzelne Punkte. ii) Ich kenne die Funktion, aber sie ist in einer Form, in der ich damit nichts anfangen kann. Dann stelle ich sie durch einfachere Funktionen dar, beispielsweise durch eine Interpolationsfunktion. --DaTroll 13:31, 27. Aug 2004 (CEST)

Na na, immer mit der Ruhe. Natürlich will ich niemanden beleidigen, aber wenn ich lese, mit welcher Vehemenz du hier Dinge verteidigst, die jeder mit etwas gesundem Menschenverstand (ich meine nicht einmal mathematisches Verständnis) als falsch erkennt, dann kriege ich natürlich einen dicken Hals. Ich habe schon genug Bücher über Numerik gelesen - könnte dir übrigens auch nicht schaden, mal deine Nase in eins zu stecken. (Es genügt auch, wenn du den Artikel nur zu Ende liest. Mit der Definition des Interpolationsproblems ist eigentlich alles gesagt.) Ich habe nichts gegen die beiden "Szenarien" gesagt. Nur: Eine Funktion kann nicht gleichzeitig gegeben und unbekannt sein. Selbst dann, wenn sie an diskreten Punkten bekannt ist, ist sie noch lange nicht "gegeben". --JunK 21:41, 30. Aug 2004 (CEST)

So, dann mal ein Formulierungsvorschlag: Die Interpolation ist ein Art der Approximation: die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden Zusatzinformationen über die Funktion f benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von f meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich häufig voraussetzen. --DaTroll 22:52, 2. Sep 2004 (CEST)

Genau meine Rede :-) --JunK 14:15, 3. Sep 2004 (CEST)

Allgemeine lineare Interpolation

wegen der übersichtlichkeit als eigenes kapitel gesetzt (systematisch wäre es 3.1.1) - man könnt ja auch eigenen artikel daraus machen .. --W!B: 11:27, 1. Sep 2005 (CEST)

>> Als mathematisch nicht studierter fällt es schwer die Formeln zur Linearen Interpolation zu verstehen, vlt. wäre es auch Sinnvoll ebenso wie in der engl. Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_interpolation) eine einfachere Formel für die Berechnung eines dritten Punktes zwischen zwei Punkten zu ergänzen. (nicht signierter Beitrag von 217.92.123.187 (Diskussion) 13:57, 1. Aug. 2012 (CEST))

Stützstellen

Hi, hab mal ne Frage, wie weit ist der Begriff Stützstelle definiert? So, wie ihr: (x_i,f_i) oder nur die x_i alleine? Bei der Trigonometrischen Interpolation werden dann bloß die x_i benutzt. Macht das mal konsequenter. Gibts überhaupt Bezeichnungen für die Einzelteile?

Hast Recht, das ist hier falsch. Die Stuetzstellen sind nur die x_i, nicht die f_i. Viele Gruesse --DaTroll 16:35, 9. Nov 2004 (CET)

Stützwert klingt komisch, hab ich noch nicht gehört. Stützpunkt hat doch auch was ;-). Irgendwie hab ich eh das Gefühl, dass sich die Profs da drücken. Aber wenn das irgendwo steht, ich lerne gerne. Danke, cethegus, 6.12.04

Der Schwarz, Numerische Mathematik, nennt sie Stuetzwerte. Der Opfer, Numerische Mathematik fuer Anfaenger, drueckt sich drumrum. Viele Gruesse --DaTroll 15:35, 6. Dez 2004 (CET)

Ist doch analog zu Funktionen: $x$ ist die Stelle, $f(x)$ der Funktionswert, $(x,f(x))$ ein Punkt des Graphen der Funktion. Also $x_{i}$ Stützstelle, $f_{i}$ Stützwert, $(x_{i},f_{i})$ Stützpunkt. DrLemming 15:58, 17. Jul 2006 (CEST)

siehe Stützstelle. --Scholten 00:11, 30. Jun. 2009 (CEST)

Bildverarbeitung

Moin. Erstmal muss ich sagen, dass dies ein toller (umfassender) Artikel ist. Da gerade in der Bildverarbeitung Interpolation eine uebergeordnete Rolle spielt sollte dieser Punkt allerdings noch ausgearbeitet werden. Ich werde da mal was ausarbeiten und an dieser Stelle sobald ich es schaffe einen Vorschlag posten.

Ein Punkt ist z.B., dass der Nachteil des Verlustes der Kanteninformationen heutzutage durch intelligentere Interpolationsverfahren ausgeglichen werden kann. Stichwort: anisotropische Glaettung. Dabei werden linear interpolierte Bilder mit PDEs (und Tensoren) entlaengs der Bildkanten geglaettet, so dass die Bilder keine Artefakte beinhalten, aber trotzdem scharf bleiben. --Mniess 4. Jul 2005 13:50 (CEST)

Hi, Du kennst den Artikel Pixel und das dort verlinkte Dokument "A pixel is not a square,..."? Ich würde es besser finden, wenn die themenentsprechenden Artikel Antialiasing oder Kantendetektion bearbeitet oder ein Artikel Kantenglättung (z.Z. Redirect auf AA) angelegt wird und von hier unter Anwendungen verlinkt wird.--LutzL 4. Jul 2005 15:20 (CEST)

bild

hab in den commons noch ein anschaungsbild gefunden: vielleicht kann das ja jmd. an passender stelle einbauen?! mfg Ckeen 14:08, 11. Jul 2005 (CEST)

Beispielbilder am Ende

Das gewählte Beispiel mit den 16 bunten Pixeln ist sicherlich eine gute Veranschaulichung um zu verstehen wie die einzelnen Filterkerne arbeiten, aber vermitteln sie leider den Eindruck der nearest neighbor sei der beste Kernel. Auf den nearest neighbor wird gar nicht weiter eingegangen, daher fehlt das Verständnis für Probleme die mit diesem Kernel auftauchen, denn besonders beim verkleinern zeigt der Filterkernel große Schwächen.

Linear

Der Unterschied zwischen "Lineares Interpolationsproblem" und "Lineare Interpolation" ist im Abschnitt "Interpolationsprobleme" leider sehr unklar formuliert. Dass lineare und quadratische Interpolation beide ein lineares Interpolationsproblem beschreiben, steht zwar dort. Aber ohne weitere Erklärung ist die Formulierung etwas schleierhaft. --Zahnradzacken 16:41, 23. Feb. 2009 (CET)

Abschnitt Stützstellendarstellung verschieben

Ich würde den Abschnitt gerne nach Polynominterpolation verschieben, und zwar in die Überarbeitung (Diskussion dazu) davon. --Scholten 00:15, 30. Jun. 2009 (CEST)

Logarithmische Interpolation

Kann es sein, dass im Abschnitt Logarithmische Interpolation f und x vertauscht worden sind ? oder wie kommen Sie auf diese Formel. Ein log. Zusammenhang von f und x wäre ja dann der Form nach f(x) = a + b log x

Bezogen auf den Satz "Bei der logarithmischen Interpolation werden zwei bekannte Datenpunkte f0(x0) und f1(x1) durch eine logarithmische Kurve verbunden." Die Formel unterfhalb (f(x)= ...) stellt offensichtlich einen exponentiellen Zusammenhang von f und x dar und keinen logarithmischen. (nicht signierter Beitrag von 78.142.173.114 (Diskussion | Beiträge) 10:13, 16. Sep. 2009 (CEST))

Kontinuierlich vs. stetig

Sollte es in der Einleitung nicht lieber "stetig" heißen? Zumindest wäre das der adäquate Fachbegriff. "kontinuierlich" klingt nach einer falschen Übersetzung aus dem Englischen. -- Claviceps purpurea 12:34, 31. Okt. 2009 (CET)

Stimmt. (+ Erledigt) -- Pberndt _(DS) 14:28, 31. Okt. 2009 (CET)

nichtlinear?

Wenn wir Argumente $x_{i}$ und dazugehörige Werte $y_{i}$ haben dann lassen sich doch die Parameter einer rationalen Funktion über ein lineares Gleichungssystem bestimmen - denn man kann doch

${{a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}+a_{3}x_{i}^{3}+\cdots +a_{n}x_{i}^{n}} \over {b_{0}+b_{1}x_{i}+b_{2}x_{i}^{2}+b_{3}x_{i}^{3}+\cdots +b_{m}x_{i}^{m}}}=y_{i}$

umformen nach

$a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}+a_{3}x_{i}^{3}+\cdots +a_{n}x_{i}^{n}-y_{i}(b_{0}+b_{1}x_{i}+b_{2}x_{i}^{2}+b_{3}x_{i}^{3}+\cdots +b_{m}x_{i}^{m})=0$ (nicht signierter Beitrag von Petersheldrick (Diskussion | Beiträge) 00:42, 25. Jul 2011 (CEST))

Nur 1D

Der Artikel geht nicht auf mehrdimensionale Interpolation ein.
Beispiel:
Auf einer Heizplatte wird an 20*20 Stellen (x;y) die Temperatur $t_{x;y}$ gemessen. Wie sind die Temperaturwerte zwischen den Messpunkten?

Das ist auch "Interpolation (Mathematik)".

Übrigens gerne auch mit unstrukturiert verteilten Messpunkten (nicht "schön in Reih' und Glied").

--arilou (Diskussion) 13:32, 21. Nov. 2019 (CET)

• en:Multivariate Interpolation
• Voronoi-Interpolation

(nicht signierter Beitrag von Arilou (Diskussion | Beiträge) 09:25, 22. Nov. 2019 (CET))

Verstehen

Auf der englischen Wikip. versteht man einiges besser. --2003:D0:2F47:96B7:604C:ADDB:5790:E5D 21:26, 25. Aug. 2020 (CEST)