Polynominterpolation

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Interpolationspolynom 7. Grades

In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses Polynom wird Interpolationspolynom genannt und man sagt, es interpoliere die gegebenen Punkte.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome lassen sich sehr leicht integrieren und ableiten. Deswegen tauchen interpolierende Polynome an vielen Stellen in der numerischen Mathematik auf, beispielsweise bei der numerischen Integration und entsprechend bei Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gegebene Wertepaare mit paarweise verschiedenen Stützstellen wird ein Polynom maximal -ten Grades gesucht, das alle Gleichungen

erfüllt. Ein solches Polynom existiert stets und ist eindeutig bestimmt, wie im Folgenden gezeigt wird.

Beim Interpolationsproblem ist also im Vektorraum der Polynome mit Grad oder kleiner zu suchen, kurz . Ist eine Basis von , so ergeben die Gleichungen ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Basisdarstellung . Da sich ein und dasselbe Polynom aber unterschiedlich darstellen lässt, je nachdem welche Basis für den Vektorraum gewählt wird, kann man ganz verschiedene Gleichungssysteme erhalten. Wählt man für die Standardbasis , also für die Darstellung , so erhält man ein Gleichungssystem mit der Vandermonde-Matrix:

.

Diese ist regulär, wenn die Stützstellen paarweise verschieden sind, das Gleichungssystem lässt sich dann eindeutig lösen. Somit ist die Existenz und Eindeutigkeit des gesuchten Polynoms immer sichergestellt. Trotz der theoretischen Machbarkeit wird diese Art der Interpolation in der Praxis nicht durchgeführt, da die Berechnung der Vandermonde-Matrix aufwendig ist (, siehe Landau-Symbole) und zudem schlecht konditioniert bei einer ungeeigneten Wahl der Stützstellen.

Lösungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obiges Gleichungssystem ließe sich beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Der Aufwand dafür ist mit allerdings vergleichsweise groß. Bei Wahl einer anderen Basis als der Standardbasis zur Beschreibung des Polynoms kann der Aufwand verringert werden.

Lagrangesche Interpolationsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielhafte lagrangesche Basisfunktionen für x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 (n = 3)

Eher für theoretische Betrachtungen günstig ist eine Darstellung in der Lagrange-Basis. Die Basisfunktionen sind die Lagrange-Polynome

die so definiert sind, dass

gilt, wobei das Kronecker-Delta darstellt. Damit entspricht die Matrix genau der Einheitsmatrix. Die Lösung des Interpolationsproblems lässt sich dann einfach angeben als

mit den Stützwerten . Dies wird häufig benutzt, um die Existenz der Lösung des Interpolationsproblems zu beweisen. Ein Vorteil der Lagrange-Basis ist somit, dass die Basisfunktionen von den Stützwerten unabhängig sind. Dadurch lassen sich verschiedene Sätze von Stützwerten mit gleichen Stützstellen schnell interpolieren, wenn die Basisfunktionen einmal bestimmt worden sind. Ein Nachteil dieser Darstellung ist jedoch, dass alle Basisvektoren bei Hinzunahme einer einzelnen Stützstelle komplett neu berechnet werden müssen, weshalb dieses Verfahren für die meisten praktischen Zwecke zu aufwendig ist.

Newtonscher Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Verfahren wird das Polynom in Newton-Basis dargestellt, so dass die Koeffizienten effizient mit dem Schema der dividierten Differenzen bestimmt werden können. Eine effiziente Auswertung des Polynoms kann dann mithilfe des Horner-Schemas erfolgen.

Ansatz: Newton-Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Ansatz für das gesuchte Interpolationspolynom wählt man die Newton-Basisfunktionen und mit , so dass dargestellt wird mit der Newtonschen Interpolationsformel

Das Gleichungssystem der Gleichungen hat dann die Form

Im Gegensatz zur komplizierten Vandermonde-Matrix bei Wahl der Standardbasis erhält man bei Wahl der Newton-Basis also eine einfach strukturierte untere Dreiecksmatrix und das Gleichungssystem lässt sich einfach lösen.

Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Koeffizienten werden aber nicht direkt aus dem obigen Gleichungssystem bestimmt, sondern effizienter mithilfe der dividierten Differenzen. Durch Induktion beweist man mit der Rekursionsformel von Aitken, dass für die Koeffizienten gilt

.

Dabei sind für die dividierten Differenzen rekursiv definiert durch

.

Die Notation mit angehängtem erklärt sich dadurch, dass oft eine unbekannte Funktion angenommen wird, die bei bekannten Funktionswerten interpoliert werden soll.

Die rekursive Berechnung der dividierten Differenzen lässt sich wie folgt veranschaulichen. Dabei sind die gesuchten Koeffizienten genau die oberste Schrägzeile:

Offensichtlich ist bei Ergänzung der Wertepaare um einen weiteren Punkt in obigem Schema nur eine weitere Zeile hinzuzufügen, um den zusätzlichen Koeffizienten zu berechnen. Die zuvor bestimmten Koeffizienten müssen nicht neu berechnet werden.

Alternativ zur obigen rekursiven Definition wird zum Beispiel in einem der Artikel von Marsden[1] die dividierte Differenz einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion als der eindeutige Koeffizient zur höchsten Potenz von eines Polynoms -ten Grads definiert, das an den Stellen interpoliert. Tritt dabei ein Wert in der Sequenz mit der Vielfachheit auf, so sollen die Ableitungen des Polynoms die Ableitungen der Funktion an dieser Stelle bis zur Ordnung interpolieren.

Auswertung des Polynoms: Horner-Schema[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Koeffizienten des Interpolationspolynoms einmal bekannt sind, kann man es effizient mithilfe des Horner-Schemas auswerten. Dazu schreibt man in der Form (einfache Umformung der Newtonschen Interpolationsformel)

,

so dass rekursiv berechnet werden kann durch

Dies erfordert einen Aufwand von .

Algorithmus von Neville-Aitken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich wie im Newtonschen Algorithmus wird beim Algorithmus von Neville-Aitken die Lösung rekursiv berechnet. Dazu bezeichne das eindeutig bestimmte Interpolationspolynom -ten Grades zu den Stützpunkten , wobei ist. Es gilt dann die Rekursionsformel von Aitken:

Beweisen lässt sie sich durch Einsetzen von , wodurch man verifiziert, dass die rechte Seite der Gleichung die Interpolationsbedingung erfüllt. Die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms liefert dann die Behauptung.

Mit dem Schema von Neville kann die Auswertung von dann rekursiv erfolgen:

Polynominterpolation Schema von Neville.jpg

Vergleich der Lösungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Möchte man alle Koeffizienten des Interpolationspolynoms bestimmen, so bietet der Newtonsche Algorithmus hierfür den geringsten notwendigen Aufwand von . Das so bestimmte Polynom lässt sich dann mit Operationen an einer Stelle auswerten. Darum ist der Newtonsche Algorithmus gut geeignet, wenn das Interpolationspolynom an vielen Stellen ausgewertet werden soll. Auch lassen sich effizient weitere Stützpunkte hinzufügen. Liegen die Stützstellen oder die Stützwerte allerdings zu nahe beieinander, so besteht die Gefahr der Auslöschung bei der Bestimmung der dividierten Differenzen.

Der Neville-Aitken-Algorithmus ist dagegen gut geeignet, wenn ein Interpolationspolynom nur an ganz wenigen Stellen ausgewertet werden soll, dabei ist er weniger anfällig gegen Auslöschung. Auch im Neville-Aitken-Algorithmus lassen sich effizient neue Stützpunkte hinzufügen. So kann z. B. eine gewünschte Genauigkeit der Interpolation an einer Stelle durch Hinzufügen immer weiterer Stützstellen erreicht werden.

Beispiel: Interpolation der Tangensfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangensfunktion (blau) und ihre Polynominterpolante dritten Grades (rot)

Interpoliere die Funktion bei gegebenen Punkten

Lösung mit Lagrange[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lagrange-Basisfunktionen sind

also ist das Interpolationspolynom

Lösung mit Newton[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dividierten Differenzen sind hier

und das Interpolationspolynom ist

Verwendet man genauere Startwerte , verschwinden der erste und der dritte Koeffizient.

Interpolationsgüte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fehlerabschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Funktion , deren Funktionswerte an den Stellen durch das Polynom interpoliert werden. Mit sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen und eine Stelle enthält. Ferner sei ()-mal stetig differenzierbar auf . Dann existiert ein , für das gilt:

Insbesondere ist also bezüglich der Maximumsnorm auf und mit :

Fehleroptimierung nach Tschebyschow[2][Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für größere clustern die Tschebyschow-Punkte an den Intervallrändern.

Der Fehler hängt also von einer Ableitung von ab und von dem Produkt , also den Stützstellen . Manchmal ist man in der Position, dass man sich Stützstellen selbst wählen kann; etwa, wenn man ein physikalisches Experiment durchführt, oder aber auch bei einigen Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. In diesem Fall ist die Frage interessant, für welche Stützstellen die Maximumsnorm minimal wird.

Tschebyschow hat gezeigt, dass die Nullstellen der Tschebyschow-Polynome („Tschebyschow-Punkte“) optimale Stützstellen sind. Die Polynome haben die Nullstellen . Die ersten Tschebyschow-Polynome sind:

Man kann dann beweisen, dass jedes Polynom der Form auf dem Intervall durch ein normiertes Tschebyschow-Polynom beschränkt bleibt. Diese Aussage kann dann mit der Transformation

auf den Fall eines allgemeinen Intervalls übertragen werden. Der Beweis liefert auch die Abschätzung

Runges Phänomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Interpolation der Rungefunktion bei 6 äquidistanten Stützstellen (rote Punkte)
Interpolation der Rungefunktion bei 11 äquidistanten Stützstellen (rote Punkte)

Verbessert sich die Interpolationsgüte, wenn mehr Stützpunkte hinzugefügt werden? Im Allgemeinen nicht: Bei hohem Grad des Polynoms kann es vorkommen, dass die Polynomfunktion kaum noch der zu interpolierenden Funktion ähnelt, was auch als Runges Phänomen bekannt ist. Polynome streben im Grenzfall gegen . Verhält sich die zu interpolierende Funktion anders, etwa periodisch oder asymptotisch konstant, treten starke Oszillationen in der Nähe der Intervallgrenzen auf. Für solche Funktionen sind Polynominterpolationen über das gesamte Intervall relativ ungeeignet.

Tschebyschow-Stützstellen, die an den Intervallgrenzen dichter liegen, können zwar den Gesamtfehler der Interpolation verkleinern, dennoch empfiehlt sich ein Wechsel des Interpolationsverfahrens, etwa zur Spline-Interpolation. Runge gab für dieses Phänomen ein Beispiel an, die nach ihm benannte Runge-Funktion:

Konvergenzverhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt aber Bedingungen, unter denen sich die Interpolationsgüte mit steigender Anzahl von Stützpunkten verbessert: Wenn das Stützstellengitter immer „feiner“ wird und eine analytische Funktion interpoliert wird. Genauer: Sei eine analytische Funktion auf dem Intervall . Für eine Intervallteilung

sei ihre Norm definiert durch

Zu jeder Intervallteilung gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom , das an den Stützstellen interpoliert. Gilt für eine Folge von Intervallteilungen , so folgt gleichmäßig.

Allerdings lässt sich zu jeder Folge auch eine auf stetige Funktion finden, so dass nicht gleichmäßig gegen konvergiert (Satz von Faber[3]).

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bisher wurden die Stützstellen des Interpolationspolynoms als paarweise verschieden angenommen. Bei der Hermiteinterpolation ist das nicht der Fall. An mehrfach vorkommenden Stützstellen werden dabei nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Werte der Ableitungen des Interpolationspolynoms vorgegeben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Aufl. Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8
  • Stoer, Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, 2.1 Interpolation durch Polynome, S. 39–57 (Behandelt die Verfahren nach Lagrange, Neville-Aitken und Newton, Hermite-Interpolation und Fehlerabschätzung jeweils mit Beispielen und Beweisen.).
  • Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery: Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-88407-5, 3.2 Polynomial Interpolation and Extrapolation, S. 118–120 (Neville-Aitken-Algorithmus mit C++-Implementation).
  • Carl Runge: Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Band 46. B. G. Teubner, Leipzig 1901, S. 224–243 (iris.univ-lille1.fr Runge-Phänomen).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Dividierte Differenzen & Horner-Schema – Implementierungen in der Algorithmensammlung

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Martin J. Marsden: An Identity for Spline Functions with Applications to Variation-Diminishing Spline Approximation. Journal of Approximation Theory 3, 7-49 (1970).
  2. Jochen Werner: 10.4. In: Numerische Mathematik, 1, Vieweg Studium, Nr.32, Vieweg Verlagsgesellschaft, 1992, ISBN 3-528-07232-6.
    • Auch hier (4.1.3.; PDF-Datei; 11,68 MB)
  3. Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, et al.: 4. In: Mathematics of the 19th Century, 1, Birkhäuser, 1998, ISBN 3-7643-5845-9.