Diskussion:Satz von Schwarz

Was genau ist hier unverständlich? Sicher, der Artikel ist ausbaufähig, aber unverständlich?--Jdiemer 17:28, 9. Sep 2004 (CEST)

Ich hab den Artikel in den letzten Tagen von Grund auf geändert (s. Versionsgeschichte). Vielleicht ist er jetzt ja nicht mehr so unverständlich win in [1]... --Hubi 17:33, 9. Sep 2004 (CEST)

Hast recht, vorher war der wirklich nicht sehr einleuchtend. Gute Arbeit! Ich habe die unverständlich-meldung mal weggemacht.--Jdiemer 12:28, 10. Sep 2004 (CEST)

Ich fand ihn relativ schwer verständlich, weil nie klar stand, was der Satz genau ist (Voraussetzungen, Folgerungen). Also, ich habe ihn mal umgearbeitet und hoffe, dass er verstälicher ist.

Ja, verständlich isser nu, aber wo ist der Beweis? --Martin

Der ist wirklich schwieriger als der Satz es suggeriert.

Irgendwo müsste noch erwähnt werden, dass der Satz nicht für alle Funktionen gilt, bei denen die 2. partiellen Ableitungen existieren. Die mir bekannte Formulierung verlangt, dass alle zweiten Ableitungen auf einer offenen Umgebung existieren und dort stetig sein müssen. Gegenbeispiele findet man in (fast) jedem Analysisbuch.--UrsZH 11:26, 28. Sep 2005 (CEST)

Warum nicht gleich für Funktionen von R^n nach R^m...? dann ist die Hesse-Matrix symmetrisch, falls die Funktion aus C^s(R^n,R^m) ist.--Ardschi 22:45, 12.12.2005

p-mal stetig differenzierbare Abbildungen

Gilt der Satz von Schwarz nicht auch für p-mal stetig differenzierbare Abbildungen f:D -> R^m, D Elemen von R^n? Dann wäre, wie schon oben erwähnt, auch die Hesse-Matrix für beliebige stetig differenzierbare Abbildungen immer symmetrisch.

Verschärfung des Satzes

Hallo!

Es gibt noch eine stärkere Aussage des Satzes von Schwarz, nach der es nicht notwendig ist, dass die Funktion aus $C^{2}(X)$ ist, sondern es reicht, dass sie zwei mal total differenzierbar ist. Das bedeutet, dass man stetigkeit der zweiten partiellen Ableitunge nicht vorraussetzen muss.

Näheres auch hier: (Beitrag Buri: 2006-06-11 19:53) [2]

MfG Konstantin

Folgerung "zweimal stetig diffbar" zu stark, oder?

In der aktuellen Version steht unter "Der Satz", dass die Existenz und Stetigkeit von $\partial _{xy}f$ anscheinend schon ausreicht für die Existenz aller zweiten partiellen Ableitungen, also auch $\partial _{xx}f$ (das steckt in "zweimal stetig diffbar"). Das kann eigentlich nicht stimmen!? (Irgendsowas wie $f(x,y)=f_{1}(x)f_{2}(y)$ mit nur einmal stetig diffbaren $f_{1}$,$f_{2}$ sollte ein Gegenbeispiel sein.). Hat jemand Ahnung davon (im Gegensatz zu mir) - dann könnte der-/diejenige meinen Einwand prüfen und ggf. den Artikel ändern, ich vertraue meinem Urteil da nicht so...

Das leuchtet mir ein, das Gegenbeispiel von dir sieht gut aus. Insbesondere habe ich ein Problem damit, dass das Gebiet U am Anfang aus dem R^n stammt und dann nur zwei Variablen vorkommen, nach denen differenziert wird. Waere die Funktion am Schluss wirklich C^2(U), dann wuerde das ja auch Differenzierbarkeit bezueglich ganz anderer Variablen implizieren (ausser x und y) und das ist absurd. Ich werde den Absatz mal loeschen. --130.83.2.27 16:33, 24. Jul. 2007 (CEST)

So, wurde heute umformuliert. Jetzt ist das Problem ja beseitigt. -- Amtiss, SNAFU ? 00:16, 23. Aug. 2007 (CEST)

Young's theorem?

Gibt es einen Zusammenhang zum Young's theorem von Grace Chisholm Young? Für das ungeübte Auge sieht es erstmal synonym aus en:Symmetry of second derivatives. Gruß, --WissensDürster (Diskussion) 12:20, 27. Jun. 2013 (CEST)

Wenn ich das richtig verstehe, dann ist das nur ein anderer Name für denselben Satz. --Digamma (Diskussion) 21:08, 27. Jun. 2013 (CEST)

Grace Chisholm Young oder William Henry Young (oder egal, weil's eh in der Familie bleibt? ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 08:16, 28. Jun. 2013 (CEST)

Im verlinkten englischen Wikipedia-Artikel heißt der Satz auch Clairaut's Theorem. --Digamma (Diskussion) 18:05, 28. Jun. 2013 (CEST)

Wenn es richtige Synonyme sind, sollten sie im Artikel erwähnt werden :) --WissensDürster (Diskussion) 17:31, 30. Jun. 2013 (CEST)

Bezug zu exakten Differentialgleichungen

Die Aussage gilt nur, wenn das Definitionsgebiet einfach-zusammenhängend ist. --Digamma (Diskussion) 21:03, 5. Jul. 2018 (CEST)

Gegenbeispiel

Könnte sich dasmal jemand ansehen? Die zweite Ableitung sind unstetig an der Stelle (0,0). Es ist daher nicht sinnvoll, ihr dort einen Wert zuzuweisen. (nicht signierter Beitrag von 85.158.196.229 (Diskussion) 10:40, 12. Mai 2020 (CEST))

Ich denke, das ist so in Ordnung. Es ist ein bekanntes Gegenbeispiel und es hat ja auch einen Einzelnachweis. -- HilberTraum (d, m) 20:19, 12. Mai 2020 (CEST)

Es ist ja auch nicht so, dass den zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) ein Wert "zugewiesen" würde. Die existieren einfach, weil die ersten partiellen Ableitungen dort partiell differenzierbar sind. --Digamma (Diskussion) 20:59, 12. Mai 2020 (CEST)