Satz von Schwarz

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Dieser Artikel ist über einen Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er sollte nicht mit dem Lemma von Schwarz aus der komplexen Analysis verwechselt werden.

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Menge sowie mindestens -mal partiell differenzierbar und sind alle -ten partiellen Ableitungen in zumindest noch stetig, so ist -mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen -ten partiellen Ableitungen mit unerheblich.[1]

Insbesondere für und gilt also

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.[2]

Andere Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

oder auch .

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von nach und von nach auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

oder auch .

Andere Formulierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man als differenzierbare 0-Form auf und schreibt für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form bzw. auch einfach nur .

Für lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: , oder mit Nabla-Symbol geschrieben: . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die Funktion durch Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen und

Es ist zu erkennen, dass gilt

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion mit und

für .

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz , aber es gilt[3]

und .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 789
  2. Hans Grauert und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II., Springer Verlag 1978
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 3-7643-7105-6, S. 192–193.