Diskussion:Zwischenwertsatz

Aufteilung des Zwischenwertsatzes

soweit ich weiß lässt sich der zwischenwertsatz auch aufteilen in folgense sätze:

Allgemeiner Zwischenwertsatz:

ist f: I=[a,b] -> IR stetig so ist J=f(I) ein Intervall.

spezieller Zwischenwertsatz:

ist f:[a,b] -> IR stetig auf [a,b] und gilt f(a)*f(b)<0, so existiert ein x aus ]a,b[ mit f(x)=0

lg. Johannes

Hallo Johannes,

• zu Deiner Änderung: IR ist hier unüblich, entweder ein fettes R (so wie es war), oder $\mathbb {R}$.
• die Formulierung "f(Intervall) ist Intervall" sollte man einbauen. Sei mutig!

--Gunther 00:59, 2. Mär 2005 (CET)

Ich schlage vor, wie in anderen Mathematikartikeln, grundsätzlich für Formeln Wikipedia:TeX zu verwenden. Stern !? 01:07, 2. Mär 2005 (CET)

Die Mehr-oder-weniger-Konvertierung nach HTML ist nicht optimal (Schriftarten). Es ist kein echtes TeX, manche Konstruktionen funktionieren nicht. Das Nachladen von Bildern dauert länger, die Antwortzeiten sind ohnehin schon unangenehm lang. Warum also nicht für einfache Formeln HTML verwenden? (Und Fettdruck für R usw. ist durchaus üblich.)--Gunther 01:50, 2. Mär 2005 (CET)

Du kannst dann ja wenigstens statt "->" bspw. "→" verwenden. Sonst sieht es doch etwas komisch aus. Stern !? 02:00, 2. Mär 2005 (CET)

Ich hatte nur die Vorversion wiederhergestellt. Ich verwende &rarr; (→).--Gunther 02:14, 2. Mär 2005 (CET)

Notation auf dem Graphik sollte auch der im Satz angepasst werden (u und v anstatt u und c) oder umgekehrt.

Offensichtlich ist ak streng monoton steigend und nach oben beschränkt und bk streng monoton fallend und nach unten beschränkt.

• Warum streng monoton? Offensichtlich gibt es doch $a_{k+1}=a_{k}$ und auch $b_{k+1}=b_{k}$, je nachdem, welche Intervallgrenzen benutzt werden.(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 212.117.84.247 (Diskussion • Beiträge) 29. Jun. 2008, 16:52)

Stimmt, habe Deine Änderung wieder eingearbeitet. --Sabata 19:25, 29. Jun. 2008 (CEST)

dann möge der Anonymous bitte zukünftig WP:ZQ nutzen!!. Gerade in solchen Fachartikeln wird häufig geändert ohne dass da gleich der rechte Fachmann drüber stolpert. Gruß--Blaufisch 19:28, 29. Jun. 2008 (CEST)

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Sofern es keine Argumente dagegen gibt, möchte ich Johannes' Vorschlag aufgreifen und den Zwischenwertsatz allgemeiner formulieren und den bisherigen Satz (inkl. Beweis) als Nullstellensatz als Spezialfall aufführen. Als solcher wird dieser auf der entsprechenden Seite Nullstellensatz auch schon aufgeführt. Sollten also keine Einwände bestehen, werde ich dies in den kommenden Wochen in Angriff nehmen. Der Plan sähe dann wiefolgt aus:

• Neuformulierung von Satz und Beweis in allgemeiner Form inklusive Austausch der Grafik
• Beibehaltung der bisherigen Aussage als "Nullstellensatz"; dabei entsprechende Anpassung der Formulierungen
• ggf. Anpassung des einleitenden Abschnittes

Bei den Änderungen werde ich mich größtenteils auf das Vorlesungsskript von K. Wirthmüller (vgl. S.68f) stützen. --Meiko Bühl (Diskussion) 19:00, 7. Mär. 2015 (CET)

Zunächst einmal ist eine Vorlesungsskript streng genommen bzw. formal keine zulässige Quelle/Beleg nach WP:Q, auch wenn ich das persönlich bei solchen Inhalten in Normaldall als aureichend ansehen würde.

Dann weiß ich aber nicht, ob es sinnvoll ist von einem Satz zunächst immer die allgemeinste Form anzugeben, sowas liegt zwar aus mathematisch Sicht oft nahe, beißt sich aber im Zweifelsfall mit WP:OMA, d.h. macht den Satz potenziell schwerer zugänglich für Leser. Besser wäre es de Satz zunächst in einer einfacheren Form dazustellen, am besten in seiner bekanntesten Form und danach Verallgemeinerungen zu beschreiben bzw. seine allgemeinste Form angeben.

In diesen Sinne sollte des du die Variante nach wirtmüller unter Verallgemeinerungen beschreiben und dich möglichst auch nicht alleine auf das Vorlesungsskript abstützen sondern auch Fachliteratur angeben, in der der Satz in dieser Form zu finden ist.--Kmhkmh (Diskussion) 19:38, 7. Mär. 2015 (CET)

Satz von Darboux

Bisher stand dazu im Text:

Ein mit dem obigen Zwischenwertsatz verwandter Satz der Differentialrechnung ist der folgende

Ich kann nicht erkennen, dass die beiden Sätze verwandt wären. Sie machen die gleiche Aussage "nimmt jeden Zwischenwert an", aber bei gänzliche unterschiedlichen Voraussetzungen und aus gänzlich unterschiedlichen Gründen. Ich habe deshalb diesen Satz umformuliert und das "verwandt" entfernt. --Digamma (Diskussion) 23:04, 15. Mär. 2014 (CET)

Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso bei der ableitung die Stetigkeit kein zwingendes Kriterium ist. Sebi2020 (Diskussion) 22:53, 9. Apr. 2017 (CEST)

Du meinst, warum man die Stetigkeit nicht voraussetzen muss? Der Satz von Darboux ist eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung und für diesen braucht man nur die Differenzierbarkeit der Funktion aber nicht die Stetigkeit der Ableitung. Wenn man die Stetigkeit der Ableitung voraussetzen würde, dann wäre die Aussage eine direkte Folgerung aus dem Zwischenwertsatz. --Digamma (Diskussion) 14:20, 10. Apr. 2017 (CEST)

Neuer Stetigkeitsbegriff

Ich frage mich, ob man den Satz nicht erweitern könnte, sodass auch die Umkehrung gilt nämlich:

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Die Funktion f ist genau dann stetig, wenn zu jedem Intervall $[c,d]\,\subseteq \,[a,b]$ mit $m:=\min\{f(c),f(d)\}$ und $M:=\max\{f(c),f(d)\}$, gilt dass $[m,M]\,\subseteq \,f([c,d])$. (nicht signierter Beitrag von 84.74.241.136 (Diskussion) 02:58, 14. Aug. 2017 (CEST))

Das wäre ein allgemeinerer Begriff als Stetigkeit. Man nennt es allgemein die "Zwischenwerteigenschaft". Nach dem Satz von Darboux, der im Artikel erwähnt wird (vgl. den Abschnitt direkt darüber) hat jede Ableitungsfunktion die Zwischenwerteigenschaft, auch wenn sie nicht stetig ist. --Digamma (Diskussion) 14:39, 14. Aug. 2017 (CEST)

Vielen Dank! (nicht signierter Beitrag von 84.74.241.136 (Diskussion) 14:56, 14. Aug. 2017 (CEST))

Gern geschehen. --Digamma (Diskussion) 15:47, 14. Aug. 2017 (CEST)

zu Formulierungen im Beweis

Vorgefunden:

1. "es gilt $g(a)<g(b)$ sowie $g(a)\leq 0\leq g(b)$"

Die erste Ungleichung ist in der Ungleichungskette enthalten, letztere sollte begründet werden.

2. "Durch Bisektion wird ein Punkt $c\in [a,\,b]$ mit $g(c)=0$ konstruiert."

Bisektion ist kein Konstruktions- sondern ein numerisches Verfahren. Die Nullstelle $x=c$ der Funktion $g(x)$ wird auch nicht konstruiert, sondern ihre Existenz nachgewiesen. Konstruiert wird die im Beweis verwendete Intervallfolge.

3.1 "Dazu sei $[a_{k},\,b_{k}],\;k\in \mathbb {N}$ mit $a_{1}:=a,\;b_{1}:=b$ eine Intervallschachtelung."

Wenn es sich bei der angegebenen Intervallfolge um eine Intervallschachtelung handelt, ist der Beweis bereits erbracht. Ebendies ist aber zu zeigen (und kann daher nicht bereits im ersten Satz behauptet werden).

3.2 Eine Schreibweise wie $\bigcap _{k\in \mathbb {N} }[a_{k},b_{k}]=\{c\}$ veranschaulicht zwar das Konstruktionsprinzip der Intervallschachtelung; allerdings kann niemand einen Beweis mit Intervallschachtelung verstehen, der nicht weiß, wie eine Intervallschachtelung funktioniert. Die anschauliche Schreibweise gehört also eher in den Artikel "Intervallschachtelung", wohin ich sie dann auch (mutatis mutandis) verschob, dort in den Abschnitt Konstruktion der reellen Zahlen.

3.3 Um nachzuweisen, dass die vorgestellte Folge von Intervallen eine Intervallschachtelung ist, ist hinreichend und notwendig nachzuweisen, dass sie die definierenden Kriterien einer Intervallschachtelung erfüllt.

4. "Falls $g(c_{k})=0$ gilt, ist $c=c_{k}$ schon der gesuchte Punkt, und man kann die Folgen der $a_{n},\,b_{n}$ konstant mit dem Wert $c$ fortsetzen usw."

Wenn $c$ eine Nullstelle von $g(x)$ ist, stört das die Logik der Intervallschachtelung in keiner Weise. Die implizit im vorgelegten Text unternommene Fallunterscheidung ist nicht erforderlich (und m.E. für das Verständnis insgesamt eher hinderlich), denn hier geht es um einen Existenznachweis und nicht um eine Berechnung.

5. "Offensichtlich ist $a_{k}$ monoton steigend (...)"

Vorzuziehen wäre eine explizite Begründung aus der gewählten Konstruktion, wie diese "Offensichtlichkeiten" zustandekommen.

Dies motivierte die Neufassung des Beweises.

--Psychironiker (Diskussion) 01:29, 17. Nov. 2017 (CET)

Drei Zwischentexte ist eingefügt, um auch solchen Interessierten gerecht zu werden, die die im Beweis verwendete Intervallfolge $([a,b])$ nicht nur als "vom Himmel fallend" entdecken wollen, sondern sie gerne konstruiert sehen (vgl. Grundlagenstreit der Mathematik), d.h. immer auch die Frage stellen, wie man auf so eine Beweisidee kommt. Die Zwischentexte sollen entsprechend den Weg "in Gegenrichtung" erlauben, also plausibel machen, warum $([a,b])$ ausgehend von den zu beweisenden Aussagen (i) bis (iii) so definiert ist, wie angegeben.

Ich habe nämlich den Verdacht, dass die logischen Ungereimtheiten in der (ganz) ursprünglichen Fassung des Beweises hier durch ein "wildes Mischmasch" zwischen einer "entdeckenden" und einer "erfindenen" Darstellungsabsicht zustandekamen.

--Psychironiker (Diskussion) 18:59, 20. Nov. 2017 (CET)

Intervall [a,b]

Üblicherweise betrachtet man nur Funktionen, deren Definitionsbereich in $\mathbb {R}$ enthalten ist, also keine Funktionen, die auf den erweiterten reellen Zahlen definiert sind. Dann ist aber [a,b] immer ein kompaktes Intervall, $a=-\infty$ oder $b=\infty$ ist also nicht zugelassen. Deswegen sind irgendwelche Verrenkungen betreffend Endpunkten im Unendlichen nicht erforderlich. --Digamma (Diskussion) 14:10, 20. Nov. 2017 (CET) @Benutzer:Psychironiker: Warum diskutierst du das auf Matroids Matheplanet und nicht hier oder im Portal Diskussion:Mathematik? --Digamma (Diskussion) 14:17, 20. Nov. 2017 (CET)

@Digamma:

(1) Ich modifizierte meine Veränderung selbst wieder (und nahm "kompakt" zurück), weil der Zwischenwertsatz sehr wohl für abgeschlossene, aber nicht beschränkte Intervalle reeller Zahlen gilt; das stand auch bereits im Abschnitt "Verallgemeinerung", bevor ich diesen veränderte (und ebenso in allen mir sprachlich zugänglichen nicht deutschsprachigen Wikipedien, die diese Fragestellung behandeln). Allerdings funktioniert bei Einbeziehung einer Grenze $a=-\infty$ oder $b=\infty$ der vorgelegte Beweis (ganz prinzipiell, der Idee nach) nicht; so kam ich überhaupt auf die Fragestellung. So, wie es jetzt formuliert ist, sollte es hinhauen.

(2.1) Matroids Matheplanet wählte ich, weil ich jenes Forum lange kenne (und gute Erfahrungen mit Ton und Inhalt machte).

(2.2) Bei umfänglicheren Veränderungen, die ich in der Wikipedia unternehme, hinterlasse ich üblicherweise auf der Diskussionsseite einen Text.

(2.3) Von einem Portal hier wusste ich schlicht bis jetzt nichts.

--Psychironiker (Diskussion) 16:37, 20. Nov. 2017 (CET)

jede jede

Ganz oben, direkt nach der Überschrift - ich selbst kann das nicht ändern bzw. weiß nicht, wie... Vege Tarier (Diskussion) 00:52, 29. Jan. 2018 (CET)

Ich finde das nicht. Vielleicht ein temporärer Anzeigefehler? --Digamma (Diskussion) 18:35, 29. Jan. 2018 (CET)

Ich versuche, einen Screenshot hochzuladen - das ist in der mobilen Version auf meinem Android-Smartphone so...

--Vege Tarier (Diskussion) 05:26, 30. Jan. 2018 (CET)

Ah. Dieser Satz erscheint nur in der mobilen Version und ist nicht im Text enthalten, sondern wird von Wikidata eingebunden. Mal schauen, ob ich da etwas finde. --Digamma (Diskussion) 16:32, 30. Jan. 2018 (CET)

Müsste jetzt behoben sein. --Digamma (Diskussion) 16:34, 30. Jan. 2018 (CET)

Yo, sieht gut aus, jetzt... (nicht signierter Beitrag von Vege Tarier (Diskussion | Beiträge) 15:05, 31. Jan. 2018 (CET))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 20:59, 31. Jan. 2018 (CET)