Dixons Faktorisierungsmethode

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Dixons Faktorisierungsmethode, auch Dixons Zufallsquadrate-Methode[1] ist ein Faktorisierungsverfahren, d. h. ein Algorithmus zur Berechnung der Primfaktorzerlegung einer gegebenen zusammengesetzten natürlichen Zahl.

Die Methode wurde vom Mathematiker John D. Dixon an der Carleton University entwickelt und im Jahr 1981 publiziert.[2] Der Zweck war die theoretische Untersuchung von Faktorbasis-Verfahren und nicht die praktische Anwendung, denn es gab zu dieser Zeit bereits die Kettenbruchmethode als effizienteren Vertreter dieser Klasse von Faktorisierungsverfahren.

Funktionsprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die zu faktorisierende Zahl. Die Methode von Dixon beruht darauf, eine Kongruenz von Quadratzahlen

(1)
(2)

zu ermitteln. Dann sind die größten gemeinsamen Teiler und echte Teiler von . Wegen (1) ist Teiler von , aber wegen (2) weder von noch von , so dass sich die Primfaktoren von auf und aufteilen.

Es wäre uneffizient, nach einer Kongruenz (1) direkt zu suchen. Stattdessen wählt man zunächst eine Faktorbasis, die aus allen Primzahlen bis besteht. Dann bestimmt man Kongruenzen

, (3)

deren keinen Primfaktor größer als enthalten. Man nennt solche Zahlen -glatt. Anschließend multipliziert man eine geeignete nicht leere Auswahl , um eine Kongruenz von Quadraten zu erhalten (denn es gilt ):

. (4)

Indem man sich auf -glatte beschränkt, braucht man nur eine überschaubare Anzahl von Kongruenzen (3), nämlich etwa , damit eine Auswahl von existiert, deren Produkt eine Quadratzahl ist. Außerdem sind dadurch die genügend schnell faktorisierbar, z. B. durch Probedivision. Ist deren Primfaktorzerlegung

bekannt, kann man eine Auswahl effizient bestimmen. Damit das Produkt der gewählten ein Quadrat ist, muss die Vielfachheit all seiner Primfaktoren gerade sein. Man verwendet dafür Methoden der linearen Algebra modulo 2 auf der Matrix der Vielfachheiten .

Man kann zeigen: wenn mindestens zwei verschiedene Primfaktoren enthält, also keine Potenz einer Primzahl ist, dann erfüllt mindestens die Hälfte der Kongruenzen von Quadratzahlen mit teilerfremd zu die Bedingung .

Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man wählt eine Zahl und bestimmt die Faktorbasis mit den kleinsten Primzahlen. Es wird empfohlen, die Primzahlen bis zu einer Schranke in der Größenordnung von in die Faktorbasis aufzunehmen.

Dann erzeugt man im Bereich und versucht, zu faktorisieren. Dixons Methode sieht vor, dass (Pseudo-)Zufallszahlen als verwendet werden, aber das ist nicht zwingend; man kann z. B. auch die Glieder einer regelmäßigen Folge wie etwa nehmen.

Die Paare mit -glatten werden aufbewahrt, zusammen mit der Faktorisierung der in Form der Vielfachheiten . Wenn man eine ausreichend erscheinende Zahl davon zur Verfügung hat (am besten ein wenig mehr als ), versucht man eine Auswahl dieser Paare zu bestimmen, die miteinander multipliziert eine Kongruenz von Quadratzahlen entsprechend (4) ergeben.

Das kann z. B. mit der Gauß-Elimination geschehen: man bildet eine binäre Matrix, die für jedes der gefundenen Paare eine Zeile und für jeden Faktor der Faktorbasis eine Spalte enthält. In einem Matrixelement ist eine 1 eingetragen, wenn der betreffende Faktor mit ungerader Vielfachheit in dem dieser Zeile enthalten ist, und ansonsten eine 0. Man bringt die Matrix mit den Operationen „Spalten vertauschen“ und „eine Spalte zu einer anderen modulo 2 addieren (also XOR-Verknüpfen)“ in eine Dreiecksform, an der man ablesen kann, welche (nicht leere) Auswahl der Zeilen den Nullvektor ergibt. Dann enthält das Produkt der dieser Zeilen jeden Faktor mit gerader Vielfachheit und ist ein Quadrat.

Hat man eine solche Auswahl gefunden, berechnet man

.

Wenn nun keinen echten Teiler von liefert, dann ist offenbar , und man muss eine andere Kombination der probieren, ggfs. muss man weitere solcher Paare sammeln.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dixons Methode besitzt bei optimaler Wahl der Größe der Faktorbasis eine Zeitkomplexität in (siehe Landau-Symbole). Es ist das einzige Faktorbasis-Verfahren, für das man eine Zeitkomplexitäts-Schranke kennt, die nicht von Annahmen über die Glattheits-Eigenschaften der Werte bestimmter Polynome abhängt.

Es ist ein allgemeines Faktorisierungsverfahren, d. h. es kann auf (nahezu) alle zusammengesetzten angewandt werden. Nur wenn eine Primpotenz ist, also von der Form , versagt das Verfahren. Dieser Fall kann aber leicht vorab geprüft werden, wodurch man auch den Primfaktor findet und somit faktorisiert hat.

Die Zeit zum Faktorisieren eines bestimmten hängt im Wesentlichen nur von der Größe von ab, und nicht von der Größe der enthaltenen Primfaktoren. Zum Auffinden kleiner Faktoren gibt es viel effizientere Verfahren, z. B. die Probedivision oder die Pollard-Rho-Methode. Diese sollten zunächst versucht werden, wenn auch kleine Faktoren enthält oder enthalten könnte, um dann evtl. ein Faktorbasisverfahren wie Dixons Methode auf den unfaktorisierten Teil von anzuwenden.

Verbesserungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die auch zu berechnen. Das ist etwas effizienter, weil die Subtraktion in der Regel schneller ist als die Modulo-Division. Wichtiger ist aber, dass man dann die Primzahlen , für die kein quadratischer Rest ist, nicht in die Faktorbasis aufnehmen muss. Nur wenn es ein gibt mit , kann durch teilbar sein. Außerdem ist es günstig, sich auf in der Nähe von zu beschränken, die ein mit relativ kleinem Betrag liefern, das mit höherer Wahrscheinlichkeit über der Faktorbasis vollständig zerfällt. Es können auch verwendet werden, wenn der Faktor in die Faktorbasis aufgenommen wird, um die negativen darzustellen. Auch der Exponent von muss dann gerade sein, damit ein positives Produkt der entsteht, d. h. der Faktor kann beim Ermitteln der Auswahl genauso wie die Primfaktoren behandelt werden.

Die können auch dann verwendet werden, wenn sie glatt sind bis auf einen einzigen Primfaktor größer . Wenn nach dem Abdividieren der Faktoren bis der verbleibende Teil kleiner als ist, muss er prim sein, und wurde vollständig faktorisiert. Man erhält dadurch wesentlich mehr Kongruenzen, die man gemäß (4) kombinieren kann, bei unverändertem Aufwand für die Zerlegung der . Die Bestimmung der Auswahl wird dann allerdings komplizierter, denn es müssen auch die Zusatzfaktoren größer im Produkt der eine gerade Vielfachheit haben.

Eine weitere Möglichkeit ist es, von den zunächst nur die kleinsten Primfaktoren abzudividieren und dann diejenigen, deren unfaktorisierter Rest größer als eine geeignet gewählte Grenze ist, zu verwerfen, denn diese sind nur mit geringer Wahrscheinlichkeit -glatt. Nur die übrigen werden anschließend auch durch dividiert.

Es gibt auch effizientere Verfahren zur Bestimmung der Auswahl , z. B. das Block-Lanczos-Verfahren, das die dünne Besetzung der Matrix nutzt. Dadurch vermeidet man die kubische Komplexität (in ) der Gauß-Elimination.

Das Prinzip, Kongruenzen (3) zu sammeln und zu einer Lösung für (1) zu kombinieren, wird auch von anderen, effizienteren Faktorbasis-Verfahren genutzt, wie dem Quadratische Sieb, der Kettenbruchmethode und dem Zahlkörpersieb. Diese unterscheiden sich im Wesentlichen nur in der Methode, wie sie Kongruenzen finden, die dann zu einer Kongruenz von Quadraten kombiniert werden. Einige der genannten Verbesserungen können bei diesen Verfahren ebenfalls angewandt werden. Dixons Methode könnte man hinsichtlich der Funktionsweise als Prototyp dieser Verfahren ansehen, auch wenn die Kettenbruchmethode als erste entwickelt wurde.

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Thorsten Kleinjung et al., "Factorization of a 768-bit RSA modulus", version 1.3 (January 24, 2010), p. 3
  2. John D. Dixon, "Asymptotically fast factorization of integers", Mathematics of Computation 36 (1981), pp. 255–260.