Doppelpendel

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Schematische Zeichnung eines Doppelpendels.
Trajektorie eines idealisierten Doppelpendels

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. An den Arm eines Pendels wird ein weiteres Pendel gehängt.

Diese einfache Konstruktion erzeugt eine unvorhersehbare Trajektorie. Das Bewegungsmuster reagiert exponentiell auf Störungen oder äußere Einflüsse. Dieses Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik, welche elliptische und hyperbolische Fixpunkte besitzt.

Anschaulich ist in bestimmten Zuständen (Phasenraumpositionen) eine geringe Änderung ausschlaggebend für die unmittelbare weitere Entwicklung.

Herleitung der Bewegungsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn und die Längen der (masselosen) Verbindungsstangen, und die Pendelmassen und die Erdbeschleunigung bezeichnet, dann gilt bei Verwendung des Lagrange-Formalismus

mit

und

Hierbei ist die kinetische Energie der beiden Pendelmassen, beschreibt ihre potentielle Energie im konstanten Gravitationsfeld. Der Punkt über den Winkeln stellt deren zeitliche Ableitung dar.

Aus den Lagrange-Gleichungen ergeben sich für die Winkel und die Bewegungsgleichungen zu

und

,

In den Bewegungsgleichungen treten Winkelfunktionen der Zustandsgrößen auf. Es handelt sich also um ein nichtlineares System. Im Spezialfall kleiner Auslenkungen lassen sich die Bewegungsgleichungen allerdings mittels der Kleinwinkelnäherung vereinfachen. Dann lassen sich beispielsweise weitere Spezialfälle wie oder betrachten, die eine näherungsweise harmonische Lösung besitzen.

Lösung der Bewegungsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten und stellen ein nichtlineares System von zwei Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten mit numerischen Verfahren gelöst werden.

Mittels Trigonometrie können die Winkel und in die kartesischen Koordinaten der Massenpunkte überführt werden.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kirchenglocke mit Klöppel bildet ein Doppelpendel.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Double pendulums – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien