Kinetische Energie

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Die kinetische Energie (von griechisch kinesis = Bewegung) oder auch Bewegungsenergie oder selten Geschwindigkeitsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird häufig T oder E_\mathrm{kin} verwendet.

Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.

Das Konzept der kinetischen Energie als einer Größe, die bei elastischen Stößen und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als vis viva („Lebendige Kraft“) im 18. Jahrhundert von Émilie du Châtelet eingeführt, nach Vorarbeiten von Christiaan Huygens und Gottfried Wilhelm Leibniz. Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie, die von Gaspard Gustave de Coriolis 1826 im Zusammenhang mit der Umwandlung in mechanische Arbeit erstmals angegeben wurde.[1]

Kinetische Energie in der klassischen Mechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Massenpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie E eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v. Es gilt:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ m v^2.

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse m = 1000 \ \mathrm{kg} mit einer Geschwindigkeit von v = 100 \ \mathrm{km} / \mathrm{h}, hat es demzufolge eine kinetische Energie von E = 1 / 2 \cdot 1000 \, \mathrm{kg} \cdot \left( 100 \ \mathrm{km} / \mathrm{h} \right) ^2 \approx 1 / 2 \cdot 1000 \ \mathrm{kg} \cdot \left( 27{,}78\ \mathrm{m} / \mathrm{s} \right) ^2 = 385\,800 \ \mathrm J.

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit v, sondern durch seinen Impuls p beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen p = mv):

E_\mathrm{kin} = \frac{p^2}{2 \ m}

Einfache Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird ein Körper der Masse m aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit W zufügen. Bei konstanter Kraft gilt:

W = Fs

Die Kraft erteilt dem Körper eine gleichmäßige Beschleunigung a, nach der Grundgleichung der Mechanik ist F=ma. Nach einer Zeit t ist die Geschwindigkeit v=at und es wurde der Weg s= \tfrac 1 2 a t^2 zurückgelegt. Alles oben eingesetzt ergibt die Beschleunigungsarbeit

W = m a \cdot \frac 1 2 \ a t^2 = \frac 1 2 \ m v^2.

Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert W. Folglich gilt für einen Körper der Masse m mit der Geschwindigkeit v:

E_\mathrm{kin} = \frac 1 2 \ m v^2.

Spezielle Koordinatensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In speziellen Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ m \left(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)
E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2}\ m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)
E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)
E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ m \left(r^2 \left[\dot \vartheta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\vartheta \right] + \dot r^2 \right) \,.

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit.

Starre Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse M und der Geschwindigkeit v_\mathrm{s} seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} \ J_\mathrm{s} \omega^2 \,.

Hier ist J_\mathrm{s} das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und \omega die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.

Mit dem Trägheitstensor I wird dies allgemein geschrieben als

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} \ \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol\omega \,.

Hydrodynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines e oder \epsilon ausgedrückt:

e_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \ \rho v^2 \,.

Hierbei bezeichnet \rho die Dichte.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich.

In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie E_\mathrm{kin} die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:

E_\mathrm{kin} = m_\mathrm{rel} c^2 - m c^2,

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit, m die Ruhemasse und mrel die relativistische Masse. Mit mrel = γ · m lautet die Beziehung:

E_\mathrm{kin} = \left(\gamma - 1\right) m c^2,

γ ist der Lorentzfaktor

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}

Aus der Taylor-Entwicklung nach v/c erhält man

E_\mathrm{kin} \approx \frac{1}{2} \ m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \dots

also für v \ll c wieder die Newtonsche kinetische Energie.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, \lim_{v \to c}E_\mathrm{kin}  = \infty, ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von m = 1\, \mathrm{kg} die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit).

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik.

Anwendungsbeispiele
Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen eines elektrischen Felds.

Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung e und der Masse m linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung U zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie E und der Ruheenergie E0[2]. Die kinetische Energie eU ist also:

e \cdot U = E - E_0

Beachtet man, dass für die Gesamtenergie

E^2 = c^2p^2 + E_0^2\quad (*)

gilt (p: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang

cp = E \cdot \frac{v}{c}

besteht, folgt für die Gesamtenergie aus (*) also:

E(v) = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Berechnet man nun die Differenz aus E(v) und E_0, setzt den Ausdruck gleich e \cdot U und löst nach v auf, erhält man abschließend:

v = c \cdot \sqrt{1 - {\left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{E_0}}\right)}^2} mit der Ruheenergie eines Elektrons  E_0 = 0{,}51\,\mathrm{MeV}

Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.

Der Large Hadron Collider führt Protonen eine Energie von 7 TeV zu. Die Protonen (Ruheenergie 940 MeV) werden dabei auf das 0,999999991-Fache der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert \langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse m, welches durch die Wellenfunktion \vert\psi\rangle beschrieben wird, gegeben durch

\langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle = \frac{1}{2 \ m}\langle\psi |\hat P^2 | \psi \rangle,

wobei \hat P^2 das Quadrat des Impuls-Operators des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte \rho(\mathbf{r}) ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für N Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall N=1 ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

 E_\mathrm{kin}[\rho] = \int \frac{1}{8}\frac{\nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } \mathrm{d}^3r

geschrieben werden, wobei E_\mathrm{kin}[\rho] das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Alexandre Moatti: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843): un mathématicien, théoricien de la mécanique appliquée. Dissertation an der Universität von Paris, 2011 (PDF; 6,4 MB; französisch).
  2. A. P. French: Die spezielle Relativitätstheorie - M.I.T. Einführungskurs Physik 1968, S. 19–23