Dupont-Kozykel

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In der Mathematik dient der Dupont-Kozykel, benannt nach Johan Dupont, zur Konstruktion der beschränkten Kähler-Klasse und damit zur Untersuchung der Darstellungen in Isometriegruppen Hermitescher symmetrischer Räume.

Sei ein Hermitescher symmetrischer Raum mit Kähler-Form . Die hermitesche Metrik sei so normiert, dass das Minimum der holomorphen Schnittkrümmung ist.

Für und bezeichnen wir mit einen -Simplex mit geodätischen Seiten und Ecken . Die Seiten sind durch die Ecken eindeutig festgelegt, das Innere im Allgemeinen nicht. Jedoch gibt nach dem Satz von Stokes Integration einer geschlossenen Form über jeden -Simplex mit diesen Seiten denselben Wert. Das Integral

ist also wohl-definiert. Es definiert einen stetigen -invarianten Kozykel, der von abhängt und als Dupont-Kozykel bezeichnet wird. Seine Kohomologieklasse ist jedoch unabhängig von .

Für die -Norm gilt , insbesondere handelt es sich um einen beschränkten Kozykel. Er definiert also eine Klasse in der beschränkten Kohomologie und sogar in der beschränkten stetigen Kohomologie . Diese Kohomologieklasse wird als beschränkte Kähler-Klasse bezeichnet.

Wenn irreduzibel ist, dann ist und die beschränkte Kähler-Klasse erzeugt diese Gruppe. Ein Beispiel ist die hyperbolische Ebene, hier ist und die beschränkte Kähler-Klasse ist mal die beschränkte Euler-Klasse.

Die beschränkte Kähler-Klasse dient der Unterscheidung von Darstellungen in . Zum Beispiel für eine Flächengruppe kann man jeder Darstellung die durch Auswertung von auf der Fundamentalklasse definierte numerische Invariante zuordnen. Allgemeiner gilt für eine endlich erzeugte Gruppe und , dass für eine Zariski-dichte Darstellung nicht Null ist und die Zariski-dichte Darstellung bis auf Äquivalenz durch festgelegt wird.

  • M. Burger, A. Iozzi: Bounded Kähler class rigidity of actions on Hermitian symmetric spaces. Ann. Sci. ENS 37, 77-103, 2004
  • J. L. Clerc, B. Ørsted: The Gromov norm of the Kähler class and the Maslov index. Asian J. Math. 7, 269-295, 2003
  • A. Domic, D. Toledo: The Gromov norm of the Kähler class of symmetric domains. Math. Ann. 276, 425-432, 1987
  • J. Dupont: Bounds for characteristic numbers of flat bundles. Algebraic topology, AArhus 1987. Lecture Notes in Mathematics 763, Springer-Verlag, 1979