Elliptic Curve DSA

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Der Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) ist eine Variante des Digital Signature Algorithm (DSA), der Elliptische-Kurven-Kryptographie verwendet.

Unterschiede zum normalen DSA-Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Generell gilt bei der Elliptische-Kurven-Kryptographie die Faustregel, dass die Bitlänge des Erzeugers der verwendeten Untergruppe etwa dem Doppelten des Sicherheitsniveaus  entsprechen sollte. Bei einem Sicherheitsniveau von Bit, bei dem ein Angreifer elementare Operationen durchführen muss, um den privaten Schlüssel zu finden, hätte ein DSA-Schlüssel eine Länge von circa 1024 Bit, ein ECDSA-Schlüssel aber nur eine Länge von 160 Bit. Eine Signatur ist jedoch bei beiden Verfahren gleich lang: Bit, also 320 Bit für ein Sicherheitsniveau von 80 Bit.

Schlüsselerzeugung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alice möchte eine signierte Nachricht an Bob schreiben. Zu Beginn muss man sich auf die Kurvenparameter einigen. Die ersten Parameter beschreiben die verwendete Kurve: ist die Ordnung des Körpers, auf dem die Kurve definiert ist; ist die Angabe der verwendeten Basis; und sind zwei Körperelemente, die die Gleichung der Kurve beschreiben; ist eine mögliche, zufällig erzeugte Zeichenkette, die vorliegt, wenn die Kurve nachweislich zufällig erzeugt wurde. Weiterhin werden benötigt:

  • , ein fester Erzeuger der -Torsionsuntergruppe der Kurve (i. e., );
  • , die Ordnung des Punktes , und , der Cofaktor (gleich der Ordnung der Kurve geteilt durch die Gruppenordnung );
  • , die Bitlänge der Gruppenordnung ;
  • eine kryptologische Hashfunktion HASH, wie z. B. SHA-2.

Um ihr Schlüsselpaar zu generieren, erzeugt Alice als geheimen Schlüssel eine zufällige Ganzzahl im Intervall . Der zugehörige öffentliche Schlüssel ist .

Algorithmus zur Erzeugung einer Signatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Will Alice eine Nachricht signieren, geht sie folgendermaßen vor:

  1. Berechne und definiere als die höchstwertigen Bits von .
  2. Wähle eine zufällige Ganzzahl von .
  3. Berechne , wobei . Wenn , gehe zum Schritt 2 zurück.
  4. Berechne . Wenn , gehe zum Schritt 2 zurück.
  5. Die Signatur ist das Paar .

Wenn berechnet wird, sollte der Wert , der aus stammt, in eine Ganzzahl umgewandelt werden. Dabei ist zu beachten, dass größer als sein kann, aber nicht länger.[1]

Es ist entscheidend, dass für verschiedene Signaturen auch verschiedene -Werte verwendet werden, ansonsten kann die Gleichung im Schritt 4 nach dem geheimen Schlüssel aufgelöst werden: Aus zwei Signaturen und , die mit demselben, unbekannten verschiedene bekannte Nachrichten und signieren, kann ein Angreifer und berechnen. Weil entspricht (alle Operationen in diesem Absatz werden mit modulo durchgeführt), kann dann auch berechnet werden. Aus kann der Angreifer wegen auch den privaten Schlüssel berechnen. Dieser Fehler in der Verschlüsselung wurde z. B. verwendet, um die Verschlüsselung in der Spielkonsole PlayStation 3 zu berechnen und damit die Beschränkung auf offiziell veröffentlichte Software auszuhebeln.[2]

Überprüfung einer Signatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn Bob die Echtheit einer von Alice erzeugten Signatur prüfen möchte, muss er eine Kopie ihres öffentlichen Schlüssels besitzen. Wenn er sich nicht sicher ist, dass ordnungsgemäß erzeugt wurde, muss er überprüfen, ob es sich wirklich um einen Schlüssel handelt (das neutrale Element wird mit bezeichnet):

  1. Überprüfe, ob ungleich ist und dass die Koordinaten ansonsten valide sind
  2. Überprüfe, ob auf der Kurve liegt
  3. Überprüfe, ob . Hier wird überprüft, ob ein Vielfaches des Erzeugers ist. Falls in den Kurvenparametern der Kofaktor ist, kann dieser Schritt weggelassen werden.

Danach führt Bob folgende Schritte durch:

  1. Überprüfe, ob und ganze Zahlen sind und im Intervall liegen. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die Signatur ungültig.
  2. Berechne , wobei HASH die gleiche Funktion wie bei der Erzeugung der Signatur ist. Bezeichne mit die höchstwertigen Bits von .
  3. Berechne .
  4. Berechne und .
  5. Berechne .
  6. Die Signatur ist gültig, wenn , ansonsten ist sie ungültig.

Mit Hilfe von Straus' Algorithmus (auch bekannt als Shamir's Trick) kann die Summe zweier skalarer Multiplikationen () schneller berechnet werden.[3][4]

Normen und Standards[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ANSI[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Standard X9.62-2005 des American National Standards Institute ist die maßgebliche Spezifikation von ECDSA, die von den nachfolgend genannten Standards als Referenz verwendet wird.[5]

NIST[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das US-amerikanische National Institute of Standards and Technology empfiehlt im Standard FIPS 186-4 fünfzehn elliptische Kurven.[6]

SECG[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Standards for Efficient Cryptography Group (SECG) ist ein 1998 gegründetes Konsortium zur Förderung des Einsatzes von ECC-Algorithmen, welches im Dokument SEC1 auch den ECDSA spezifiziert.[7]

ISO/IEC[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die International Organization for Standardization und die International Electrotechnical Commission definiert ECDSA in dem internationalen Standard 14888-3 (der ältere Standard 15946-2 wurde 2007 zurückzogen). Im Standard 14888-3 und einer Ergänzung (Amendment 1) werden neben EC-DSA (die im Standard verwendete Abkürzung) noch die Varianten EC-GDSA (Elliptic Curve German Digital Signature Algorithm), EC-KCDSA (Korean Certificate-based Digital Signature Algorithm), EC-RDSA (Russian Digital Signature Algorithm), EC-SDSA und EC-FSDSA (Schnorr und Full Schnorr Digital Signature Algorithm) spezifiziert.

BSI[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik legt in der Technical Guideline TR-03111 Vorgaben und Empfehlungen u. a. für die Implementierung des ECDSA fest.

Implementierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Open Source[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. NIST FIPS 186-4, Juli 2013, pp. 19 und 26 (PDF; 0,7 MB)
  2. CCC, 27C3, Console Hacking 2010, Seite 123–128 (PDF; 9 MB)
  3. http://www.lirmm.fr/~imbert/talks/laurent_Asilomar_08.pdf Das Doppel-Basen-Zahlen-System in der Elliptischen Kurven-Kryptographie (engl.)
  4. http://caccioppoli.mac.rub.de/website/papers/multiexp.pdf On the complexity of certain multi-exponentiation techniques in cryptography
  5. ANSI X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
  6. NIST: Digital Signature Standard (DSS). (nist.gov [PDF]).
  7. http://www.secg.org/ Standards for Efficient Cryptography Group (SECG)
  8. OpenSSH 5.7 has just been released. OpenBSD, abgerufen am 19. August 2011.
  9. OpenSSH 5.7: Schneller durch die Kurve. Heise.de, 25. Januar 2011, abgerufen am 19. August 2011.
  10. https://www.openssl.org/news/changelog.html

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Accredited Standards Committee X9, American National Standard X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry, The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA), November 16, 2005.
  • Certicom Research, Standards for efficient cryptography, SEC 1: Elliptic Curve Cryptography (PDF; 970 kB), Version 2.0, May 21, 2009.
  • López, J. and Dahab, R. An Overview of Elliptic Curve Cryptography, Technical Report IC-00-10, State University of Campinas, 2000.
  • Daniel J. Bernstein, Pippenger's exponentiation algorithm (PDF; 293 kB), 2002.
  • Daniel R. L. Brown, Generic Groups, Collision Resistance, and ECDSA, Designs, Codes and Cryptography, 35, 119–152, 2005. ePrint version
  • Ian F. Blake, Gadiel Seroussi, and Nigel P. Smart, editors, Advances in Elliptic Curve Cryptography, London Mathematical Society Lecture Note Series 317, Cambridge University Press, 2005.
  • Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer, Springer, 2004.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]