Elliptische Isometrie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d. h. wenn es ein mit gibt.

Sei das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und die durch

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass eine Isometrie ist und den Fixpunkt hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen beschrieben werden. Eine durch beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von die Ungleichung

gilt. Für eine durch beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

und .

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum und eine Isometrie.

  • ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.[1]
  • ist genau dann elliptisch, wenn es ein gibt, für das elliptisch ist.[1]
  • Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
  • Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. a b Bridson-Haefliger, op.cit., Proposition 6.7