Entdimensionalisierung

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Entdimensionalisierung oder Entdimensionierung ist das teilweise oder vollständige Entfernen von dimensionsbehafteten Größen (wie z.B: Maßeinheiten) aus einer physikalischen Gleichung durch eine geeignete Substitution von Variablen.[1] Mit Hilfe von dimensionslosen Variablen und dimensionsbehafteten Konstanten lassen sich Effekte eliminieren, die aus der Wahl des Einheitensystems resultieren und intrinsische Konstanten des Systems, etwa charakteristische Längen, Zeiten oder Frequenzen finden. Die Technik eignet sich daher zur Vereinfachung von Systemen von Differentialgleichungen.

Die Entdimensionalisierung ist verwandt mit der Dimensionsanalyse und der Dimensionsbetrachtung.

Eigenschaften und Vorteile dimensionsloser Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einigen physikalischen Systemen wird der Ausdruck Skalierung als Synonym für Entdimensionalisierung benutzt, um anzudeuten, dass manche Größen nicht in einem allgemeinen Einheitensystem wie den SI-Einheiten, sondern relativ zu einer Einheit gemessen werden, die durch das betrachtete System gegebenen ist. Diese Einheiten werden „intrinsische“ oder „charakteristische“ Größen des Systems genannt. Eine solche charakteristische Größe kann beispielsweise eine durchschnittliche Lebenszeit oder die Schwingungsdauer eines Pendels sein, sodass die Zeit in dem entsprechend skalierten System als Vielfaches dieser Größen gemessen wird.

Die Reynolds-Zahl bildet die Abhänigkeit von 4 dimensionsbehafteten Größen in einer dimensionlosen Größe wieder und ermöglicht somit eine Reduktion der Dimensionalität des Moody-Diagramms.

Bei der Entdimensionalisierung entstehen in der Gleichung dimensionslose Kennzahlen, beispielsweise in der Fluidmechanik die Reynolds-Zahl, die Euler-Zahl oder die Prandtl-Zahl. Diese Referenzvariablen werden so gewählt, dass die neuen dimensionslosen Variablen typischerweise von der Größenordnung Eins sind. Die dimensionslose Formulierung definiert daher, was „klein“ bedeutet, nämlich wenn kleiner als Eins ist.[2]

Durch die vollständige Entdimensionalisierung einer Gleichung lassen sich die Parameter des Systems reduzieren, in dem diese zu dimensionslosen Gruppen zusammengefasst werden.[2] Mithilfe dieser dimensionslosen Gruppen lassen sich dann charakteristische Konstanten eines Systems aufdecken, etwa Resonanzfrequenzen, Längen oder Zeiten finden. Durch das Zusammenfassen der Parameter zu dimensionslosen Gruppen lassen sich Systeme miteinander vergleichen. So lassen sich zwei Systeme, die in Realität dasselbe Verhalten aber eine andere absolute Dimension besitzen, beispielsweise ein Federpendel und ein Schwingkreis durch Entdimensionalisierung auf dasselbe dimensionslose Gleichungssystem zurückführen.

Entdimensionalisierung ist zu unterscheiden von der Umwandlung extensiver Größen in einer Gleichung in intensive, da die Ergebnisse dieses Verfahrens immer noch einheitenbehaftet sind.

Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um eine dimensionsbehaftete Gleichung in eine dimensionslose Gleichung umzuwandeln gibt es häufig mehrere Möglichkeiten, wobei die optimale Wahl anfangs unklar ist.[2] Ein unbekanntes System von Differentialgleichungen, lässt sich daher mit folgenden Schritten entdimensionalisieren:

(1) Alle abhängigen und unabhängigen Variablen identifizieren.

(2) Jede unabhängige dimensionsbehaftete Variable wird durch ein Produkt einer dimensionslosen Größe sowie einer dimensionsbehafteten Referenzvariablen gemäß ersetzt. Der Wert der Referenzvariablen wird später so festgelegt, dass die dimensionlose Größe von der Größenordnung Eins ist.[2]

(3) Mithilfe der Kettenregel werden alle dimensionsbehafteten Ableitungen durch Ableitungen der dimensionslosen Größen nach einer anderen dimensionslosen Größe ausgedrückt.

(4) Das System von Differentialgleichungen besteht nun im Allgemeinen aus Produkten dimensionsloser Terme, die sich aus den dimensionslosen Größen sowie ihren Ableitungen berechnen und dimensionsbehafteter Koeffizienten, die sich aus Parametern und den Referenzvariablen berechnen. Die dimensionsbehafteten Koeffizienten werden durch dimensionslose Gruppen ersetzt, indem jede Gleichung durch den Koeffizient vor dem Term der höchsten Ordnung oder eine andere Größe von gleicher Dimension geteilt wird.

(5) Jede dimensionslose Größe sowie ihre Ableitung ist laut obiger Annahme von der Größenordnung Eins. Die Referenzvariablen werden daher so festgelegt, dass möglichst viele dimensionsbehaftete Koeffizienten ebenfalls die Größenordnung Eins haben. Ein Term der Gleichung ist „klein“, wenn die dimensionslose Gruppe kleiner als Eins ist. So lässt sich konkretisieren, bei welchen Systemen ein Term vernachlässigbar ist.[2]

(6) Für jede verbleibende dimensionslose Gruppe wird eine neue Variable eingeführt, sodass das Gleichungssystem sich in Abhängigkeit dieser Variablen schreiben lässt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet wird eine Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ()

die gemäß obigem Schema entdimensionalisiert wird:

(1) Die Gleichung enthält eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable .

(2) Ersetze und .

(3) Ersetze die Ableitung

und definiere

(4) Das Ergebnis

wird durch den Koeffizienten vor dem Term der mit der Ableitung höchster Ordnung geteilt.

(5) Im Ergebnis

treten die Parameter als zwei dimensionslose Gruppen sowie auf. Die erste enthält nur die charakteristische Variable und wird daher als erstes Eins gesetzt:
Es folgt für die zweite Gruppe

(6) Die resultierende dimensionslose Gleichung ist unabhängig von dimensionsbehafteten Parametern:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. C. Lin, L. A. Segel: Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences. SIAM, 1988.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. J. Struckmeier: Mathematische Modellierung. 2.1. Skalierung, Entdimensionalisierung und kleine Parameter. S. 45, abgerufen am 14. Mai 2017.
  2. a b c d e Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, 2000, ISBN 0-7382-0453-6, S. 64.