„Eulersche Zahl“ – Versionsunterschied
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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit der Basis des natürlichen Logarithmus. Andere nach Euler benannte Zahlen und Zahlenfolgen sind unter [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]] aufgeführt.}} |
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Die eulersche Zahl ist die [[Potenz (Mathematik)|Basis]] des [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] und der (natürlichen) [[Exponentialfunktion]], die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl <math>e</math> häufig kurz <math>e</math>-[[Funktion (Mathematik)|Funktion]] genannt wird. Sie spielt in der [[Infinitesimalrechnung]] ([[Differentialrechnung|Differential]]- und [[Integralrechnung]]) eine wichtige Rolle. |
Version vom 30. August 2010, 14:31 Uhr
Die eulersche Zahl (nach dem Schweizer Mathematiker Harald Euler) ist eine irrationale und sogar transzendente reelle Zahl.
Die eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion, die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl häufig kurz -Funktion genannt wird. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine wichtige Rolle.
Definition
Die Zahl kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:
als Reihe, mit per Definition.
Mit wird dabei die Fakultät bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert der Exponentialfunktion (oder „-Funktion“) an der Stelle 1; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt Null an der Stelle 1 ausgewertet.
Eigenschaften
Die eulersche Zahl ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen und besitzt eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung.
In der eulerschen Identität
werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die eulersche Zahl , die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl .
Herkunft des Symbols
Der Buchstabe für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d'Alemberts Histoire de l'Académie, hat sich e durchgesetzt.
Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl
Die eulersche Zahl lässt sich auch durch
oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:
Eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung
Die Kettenbruchentwicklung von weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt:
Anschauliche Interpretationen der eulerschen Zahl
Zinseszinsrechnung
Das folgende Beispiel macht die Berechnung der eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.
Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p=100 % pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?
Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach Verzinsungen
wobei das Startkapital, der Zinssatz, und die Anzahl der Verzinsungen sind.
In diesem Beispiel sind und , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder , wenn der Zinszuschlag mal im Jahr erfolgt.
Bei jährlichem Zuschlag wäre
Bei halbjährlichem Zuschlag hat man , also
also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung () erhält man
Wenn man momentan verzinst, wird unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für .
Wahrscheinlichkeitsrechnung
ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: beispielsweise angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält statistisch gesehen jedes -te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit , dass bei Brötchen alle Rosinen nicht in einem fest gewählten sind, ergibt im Grenzwert für (37-%-Regel):
Sonstiges
Weitere Eigenschaften
Die zwei Teilkurven der impliziten Funktion schneiden sich im Punkt . Mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieser Funktion setzen sich im n-dimensionalen Raum aus Teilkurven zusammen, die sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Koordinaten sämtlich betragen. Der Beweis hierfür ist nicht leicht zu führen.
Entwicklung der Nachkommastellen von
Datum | Anzahl der Dezimalstellen | Mathematiker |
---|---|---|
1748 | 18 | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William Shanks |
1871 | 205 | William Shanks |
1884 | 346 | J. Marcus Boorman |
1946 | 808 | ? |
1949 | 2.010 | John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC) |
1961 | 100.265 | Daniel Shanks & John Wrench |
1981 | 116.000 | Stephen Gary Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II) |
1994 | 10.000.000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell |
Mai 1997 | 18.199.978 | Patrick Demichel |
August 1997 | 20.000.000 | Birger Seifert |
September 1997 | 50.000.817 | Patrick Demichel |
Februar 1999 | 200.000.579 | Sebastian Wedeniwski |
Oktober 1999 | 869.894.101 | Sebastian Wedeniwski |
21. November 1999 | 1.250.000.000 | Xavier Gourdon |
10. Juli 2000 | 2.147.483.648 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
16. Juli 2000 | 3.221.225.472 | Colin Martin & Xavier Gourdon |
2. August 2000 | 6.442.450.944 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
16. August 2000 | 12.884.901.000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
21. August 2003 | 25.100.000.000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
18. September 2003 | 50.100.000.000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
27. April 2007 | 100.000.000.000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[1] |
6. Mai 2009 | 200.000.000.000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[2] |
20. Februar 2010 | 500.000.000.000 | Alexander Yee[3] |
5. Juli 2010 | 1.000.000.000.000 | Shigeru Kondo[4] |
Die ersten 200 Nachkommastellen von
Die Dezimalbruchentwicklung von mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet:[5]
Weblinks
- Intuitiv verständliche Verbildlichung von e in einem interaktiven Java-Applet
- e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englisch)
- ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)
Einzelnachweise
- ↑ English Version of PI WORLD
- ↑ English Version of PI WORLD
- ↑ http://numberworld.org/digits/E/
- ↑ http://numberworld.org/digits/E/
- ↑ Euler's number to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; genauer siehe bei den Weblinks: Project Gutenberg