„Eulersche Zahl“ – Versionsunterschied

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit der Basis des natürlichen Logarithmus. Andere nach Euler benannte Zahlen und Zahlenfolgen sind unter [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]] aufgeführt.}}
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Die eulersche Zahl ist die [[Potenz (Mathematik)|Basis]] des [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] und der (natürlichen) [[Exponentialfunktion]], die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl <math>e</math> häufig kurz <math>e</math>-[[Funktion (Mathematik)|Funktion]] genannt wird. Sie spielt in der [[Infinitesimalrechnung]] ([[Differentialrechnung|Differential]]- und [[Integralrechnung]]) eine wichtige Rolle.

Version vom 30. August 2010, 14:31 Uhr

Die eulersche Zahl (nach dem Schweizer Mathematiker Harald Euler) ist eine irrationale und sogar transzendente reelle Zahl.

Die eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion, die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl häufig kurz -Funktion genannt wird. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine wichtige Rolle.

Definition

Die Zahl kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

   als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man oder voraussetzt) und

als Reihe, mit per Definition.

Mit wird dabei die Fakultät bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert der Exponentialfunktion (oder „-Funktion“) an der Stelle 1; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt Null an der Stelle 1 ausgewertet.

Eigenschaften

Die eulersche Zahl ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen und besitzt eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung.

In der eulerschen Identität

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die eulersche Zahl , die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl .

Herkunft des Symbols

Der Buchstabe für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d'Alemberts Histoire de l'Académie, hat sich e durchgesetzt.

Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl

Die eulersche Zahl lässt sich auch durch

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

Eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

Die Kettenbruchentwicklung von weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt:

Anschauliche Interpretationen der eulerschen Zahl

Zinseszinsrechnung

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p=100 %  pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach Verzinsungen

wobei das Startkapital, der Zinssatz, und die Anzahl der Verzinsungen sind.

In diesem Beispiel sind und , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder , wenn der Zinszuschlag mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man , also

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung () erhält man

Wenn man momentan verzinst, wird unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für .

Wahrscheinlichkeitsrechnung

ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: beispielsweise angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält statistisch gesehen jedes -te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit , dass bei Brötchen alle Rosinen nicht in einem fest gewählten sind, ergibt im Grenzwert für (37-%-Regel):

Sonstiges

Weitere Eigenschaften

Die zwei Teilkurven der impliziten Funktion schneiden sich im Punkt . Mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieser Funktion setzen sich im n-dimensionalen Raum aus Teilkurven zusammen, die sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Koordinaten sämtlich betragen. Der Beweis hierfür ist nicht leicht zu führen.

Entwicklung der Nachkommastellen von

Datum Anzahl der Dezimalstellen Mathematiker
1748 18 Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808 ?
1949 2.010 John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench
1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel
August 1997 20.000.000 Birger Seifert
September 1997 50.000.817 Patrick Demichel
Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21. November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10. Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2. August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21. August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18. September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27. April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[1]
6. Mai 2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[2]
20. Februar 2010 500.000.000.000 Alexander Yee[3]
5. Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo[4]

Die ersten 200 Nachkommastellen von

Die Dezimalbruchentwicklung von mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet:[5]

Einzelnachweise

  1. English Version of PI WORLD
  2. English Version of PI WORLD
  3. http://numberworld.org/digits/E/
  4. http://numberworld.org/digits/E/
  5. Euler's number to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; genauer siehe bei den Weblinks: Project Gutenberg

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