Diracmaß

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Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein spezielles Maß in der Maßtheorie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein messbarer Raum gegeben, also eine Grundmenge zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra . Zu jedem Punkt wird eine zugehörige Abbildung definiert, die jeder Menge den Wert zuordnet, wenn sie enthält, und den Wert , wenn sie nicht enthält:

Die Abbildung ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt genannt. Wegen ist sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß ist die Einheitsmasse im Punkt konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion kann man die definierende Gleichung auch durch

für alle und ausdrücken.

Dirac-Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Dirac-Integral der Funktion ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

Begründung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist folgendermaßen definiert.

ist eine beliebige Folge von einfachen Funktionen, die punktweise und monoton wachsend gegen konvergieren. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt. sei die Anzahl der Funktionswerte ; seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion jeweils den Wert annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

Ist z nicht ein Element von A, dann ist z erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen gleich Null. Folglich ist das Integral über A insgesamt gleich Null.

Ist z Element von für irgendein j, so ist das Dirac-Maß von gleich 1; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen ergibt sich somit:

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle z, wenn z Element von A ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle und gilt

Als einelementige Teilmenge von ist . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls , so ist auch eine Integration über und möglich.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]