Formale Ableitung

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Die formale Ableitung ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Durch sie wird der Ableitungsbegriff aus der Analysis für Funktionen auf Polynome übertragen.

Da über einem Ring keine Zahl "zwischen" zwei Zahlen existiert, es also keinen Grenzwertbegriff gibt, kann der Differenzenquotient nicht sinnvoll definiert werden und somit existiert keine Ableitung im eigentlichen Sinne. Um das Konzept der Ableitung trotzdem nutzen zu können, wird diese für Polynome formal so definiert, dass die Faktorregel und die Potenzregel erfüllt sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring und bezeichne den Polynomring über in einer Unbestimmten . Für ein Polynom

ist die formale Ableitung definiert als

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt
sowie
für alle und alle . Das heißt, die Abbildung
ist eine Derivation von .
  • Liegt in Linearfaktoren vor, d. h. , wobei die Nullstellen von sind, so gilt für die Ableitung
.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Körper, so ist ein euklidischer Ring (insbesondere faktoriell), wobei als euklidische Norm dient, wenn die Koeffizienten von bezeichnet. Die Nullstellen des ggT von und sind gerade die Mehrfachnullstellen von mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei eine Mehrfachnullstelle von , dann gilt mit einem Polynom und einem . Es folgt , also .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]