Frame (Hilbertraum)

Ein Frame ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes.

Definition

Es sei $H$ ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und davon induzierter Norm $\|\cdot \|={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}.$ Eine Familie $\left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }\subset H$ heißt Frame von $H$ , wenn es $0<m\leq M$ gibt, so dass für alle $f\in H$ die Ungleichung

m\left|\left|f\right|\right|^{2}\leq \sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}\leq M\left|\left|f\right|\right|^{2}

gilt. Dies bedeutet, dass die $\ell ^{2}$ -Norm der Folge der Fourierkoeffizienten $(\langle f,f_{j}\rangle )_{j\in \mathbb {Z} }$ in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion $f$ steht.

Kann darin $m=M$ gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für $m=M=1$ erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle $f\in H$ die parsevalsche Gleichung

\left|\left|f\right|\right|^{2}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}

.

Beispiel

Die Vektoren $(1/2,1/2),\,(1/2,i/2),\,(1/2,-1/2),\,(1/2,-i/2)$ sind ein straffer Frame für den $\mathbb {C} ^{2}.$

Eigenschaften

Jedes Frame $\left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }$ ist ein Erzeugendensystem von $H$ im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt ${\overline {\operatorname {span} \{f_{j}\}}}=H$ .
Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung $\textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\langle f,f_{j}\rangle f_{j}$ gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten $\{c_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ geben mit $\textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }c_{j}f_{j}\,.$