Frame (Hilbertraum)

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Ein Frame ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes.

Definition[Bearbeiten]

Es sei H ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt \langle \cdot, \cdot\rangle und davon induzierter Norm \| \cdot \| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot\rangle}. Eine Familie \left\{f_j\right\}_{j \in \Z} \subset H heißt Frame von H, wenn es 0 < m \leq M gibt, so dass für alle f\in H die Ungleichung

m \left|\left| f \right|\right|^2 \leq \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2 \leq M \left|\left| f \right|\right|^2

gilt. Dies bedeutet, dass die \ell^2-Norm der Folge der Fourierkoeffizienten (\langle f, f_j\rangle)_{j\in\mathbb{Z}} in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion f steht.

Kann darin m = M gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für m = M = 1 erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle f\in H die parsevalsche Gleichung

\left|\left| f \right|\right|^2 = \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2.

Beispiel[Bearbeiten]

  • Die Vektoren (1/2,1/2), \, (1/2,i/2), \, (1/2, -1/2),\, (1/2,-i/2) sind ein straffer Frame für den \mathbb{C}^2.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jedes Frame \left\{f_j\right\}_{j \in \Z} ist ein Erzeugendensystem von H im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt \overline{\operatorname{span}\{f_j\}} = H.
  • Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
  • Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung \textstyle f = \sum_{j\in \Z}  \langle f, f_j \rangle  f_j gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten \{c_j\}_{j\in\Z} geben mit \textstyle f  = \sum_{j\in \Z}  c_j f_j\,.

Literatur[Bearbeiten]

  • Ole Christensen: An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4295-1.

Weblinks[Bearbeiten]