Frame (Hilbertraum)

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Ein Frame ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt und davon induzierter Norm Eine Familie heißt Frame von , wenn es gibt, so dass für alle die Ungleichung

gilt. Dies bedeutet, dass die -Norm der Folge der Fourierkoeffizienten in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion steht.

Kann darin gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle die parsevalsche Gleichung

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Vektoren sind ein straffer Frame für den

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jedes Frame ist ein Erzeugendensystem von im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt .
  • Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
  • Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten geben mit

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ole Christensen: An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4295-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]