Frobenius-Methode

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Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

zu finden, wobei und als analytisch in einer Umgebung von vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen[1] und danach von Frobenius verallgemeinert[2].

Satz von Fuchs[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

wobei bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

und wir können sie gemäß ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

  • Ist keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
  • Ist eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für und .

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive ) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Beispiele die mit der Methode von Frobenius gelöst werden können:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
  2. G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.