Das Goldston-Pintz-Yıldırım-Sieb (auch GPY-Sieb oder GPY-Methode) ist eine Sieb-Methode und Variante des Selberg-Siebs mit verallgemeinerten, mehrdimensionalen Sieb-Gewichten. Das Sieb führte zu einer Reihe von wichtigen Durchbrüchen in der analytischen Zahlentheorie.
2005 wurde das Sieb von Dan Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım publiziert.[1] Diese benützten es, um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahltupel gibt, deren Abstände (die Primzahllücke) beliebig kleiner sind, als der Durchschnittsabstand, der aus dem Primzahlsatz folgt.
Seien
die Primzahlen an den Stellen
und
. Goldston, Pintz und Yıldırım benützten das Sieb, um
![{\displaystyle \liminf \limits _{n\to \infty }\,{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856258dad6452c378462418d10e66bbe3867eda2)
zu beweisen. 2013 benützte Yitang Zhang eine modifizierte Variante des GPY-Siebs und bewies damit[2]
.
Das GPY-Sieb wurde danach von anderen Mathematikern weiter modifiziert, darunter James Maynard[3], der die Grenze auf
drückte, sowie von Terence Tao.
Wir fixieren ein
.
Sei
die Menge der Primzahlen und
die charakteristische Funktion der Primzahlen,
die Mangoldt-Funktion,
die prime Omega-funktion, welche die eindeutigen Primfaktoren zählt, d. h. falls
, dann ist ![{\displaystyle \omega (n)=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b52460fd9e3074cfc0d8f1a8b3f7409fceedac)
eine Menge von verschiedenen nichtnegativen ganzen Zahlen
.
ist folgende charakteristische Funktionen der Primzahlen
![{\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{falls }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012cc23166928c59a5c0b1af30872ccad9a7ecac)
- Es gilt
.
Für ein
definieren wir noch
![{\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c823b513bf27758548a3d4c20cdf6eda74504ab8)
![{\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0695a9f7dff46b5537badb75e6760925c3eab1)
Falls alle
Primzahlen sind, dann nennen wir
ein Primzahl-
-Tupel und es gilt
.
Für ein
ist
die Anzahl eindeutiger Restklassen modulo
.
Beispiel:
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\{0,2,5\},\quad p=3,\quad {\mathcal {H}}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,1\}\quad \nu _{3}({\mathcal {H}})=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511ab06c4150941a543f2d4537b8819ce8cd833d)
Wir nennen ein
zulässig (englisch admissible), falls
keine vollständige Menge von Resten bezüglich aller Primzahlen
bildet, das heißt
![{\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<p,\quad \forall p\in \mathbb {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc26a7f02d574ba03be296ce337ae0e50ef3ca9)
Um das zu überprüfen, genügt es nur die Primzahlen bis
zu überprüfen.
Beispiele für nicht zulässig:
ergibt
Restklassen und
ergibt
Restklassen.
Beispiele für zulässig:
ergibt
Restklassen,
ergibt
Restklassen und
ergibt
Restklassen.
Sei
zulässig und betrachte die Siebfunktion
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9453d8f59f76b43e0fcf0ee841ff32d128ba7cd)
beachte dass die Gewichtsfunktion
immer positiv ist. Die Siebfunktion zählt für jedes
alle Primzahlen der Form
in
abzüglich eines Schwellenwertes
. Das heißt, wenn
, dann existieren manche
, so dass mindestens
Primzahlen in
existieren.
Da
keine guten analytischen Eigenschaften hat, verwenden wir stattdessen folgende Siebfunktion
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d057386e311417f2d78c3bbf8eeedc1be52277)
Da
und
ist, ist
nur dann, wenn wir mindestens für ein
zwei Primzahlen
und
finden.
Das Ziel ist es nun, dass wir Primzahl-
-Tupel
![{\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c823b513bf27758548a3d4c20cdf6eda74504ab8)
erkennen, dies geschieht durch die Wahl einer passenden Gewichtsfunktion
.
Wenn
ein Primzahl-
-Tupel ist, dann besteht
![{\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19694035b6ad85873e74c6aab72fa33913a3bcf6)
aus exakt
Primfaktoren. Wir wählen nun die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd5f14b48db5a99a94fc8b99b04f5429505963c)
denn diese hat die Eigenschaft, dass wenn
aus mehr als
eindeutigen Primfaktoren besteht (d. h.
), dann gilt
. Die Funktion erkennt zwar auch Primzahlpotenzen, aber der Fehler ist gering und kann vernachlässigt werden.[4]
Wenn nun
ein Primzahl-
-Tupel ist, dann wird die Funktion
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225dac6a72a700ec131d599c5272d817eaad632c)
nicht verschwinden. Der Normalisierungsfaktor
ist nur aus rechnerischen Gründen dort.
Für
lässt sich die Mangoldt-Funktion durch die abgeschnittene Mangoldt-Funktion
approximieren
![{\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a3c583f9b8d8df7d458caee18fbd6086b50bd7)
wobei das
hier nicht mehr für die Tupellänge steht, welche immer noch
ist. Dasselbe machen wir mit der verallgemeinerten Mangoldt-Funktion resp.
. Wir führen folgende Approximation ein
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd137166d85f4b82fb3e7dda7c1935fc377ce00)
Die entscheidende Idee ist nun, statt nur Primtupel lieber Tupel mit Primzahlen in mehreren Komponenten zu approximieren und einen zusätzlichen Parameter
einzuführen
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e72696054d16887548186e878ac37427f47fcc)
Die Gewichtsfunktion schaut somit ob
oder weniger eindeutige Primfaktoren in
enthalten sind, das bedeutet
. Der technische Grund hierfür ist, dass wir mit dem
Parameter für ein eindeutiges
die Restriktion
erhalten und ohne diesen Parameter die Restriktion
.[5]
Durch den
Exponent wird das Ganze zur Anwendung eines
-dimensionalen Siebs auf ein
-dimensionales Siebproblem.[6]
Das vollständige GPY-Sieb ist von folgender Form[7]
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\quad |{\mathcal {H}}|=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e489c34abb56749be67de04f834d021288e24f4a)
mit
.[8]
Betrachte die zwei Tupel
und
und sei
und
. Goldston, Pintz und Yıldırım bewiesen dann unter bestimmten Voraussetzungen zwei asymptotische Abschätzungen der Form
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f00f579bbb892e8680908c6b717a033fffcd0e)
und
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0942e34204908bb3227d1e476099f5bf623974bc)
wobei
zwei Konstanten sind,
und
sind zwei singulare Reihen, auf deren Beschreibung wir hier verzichten. Wählt man
, dann erhält man den gewünschten Faktor
in den Abschätzungen.
Beide Abschätzungen werden dann auf
angewendet um das eigentliche Theorem von Goldston, Pintz und Yıldırım herzuleiten.[8]
- Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 819–862, doi:10.4007/annals.2009.170.819.
- James Maynard: Small gaps between primes. In: Annals of Mathematics. Band 181, Nr. 1, 2015, S. 383–413, doi:10.4007/annals.2015.181.1.7, arxiv:1311.4600 [abs].
- ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 819–862, doi:10.4007/annals.2009.170.819.
- ↑ Yitang Zhang: Bounded gaps between primes. In: Annals of Mathematics. Band 179, 2014, S. 1121–1174, doi:10.4007/annals.2014.179.3.7.
- ↑ James Maynard: Small gaps between primes. Band 181, Nr. 1, 2015, S. 383–413, doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 826, doi:10.4007/annals.2009.170.819 (Siehe Fußzeile).
- ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 827, doi:10.4007/annals.2009.170.819.
- ↑ D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz und C. Y. Yildirim: Small gaps between primes or almost primes. 2005, S. 7, arxiv:math/0506067.
- ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 828, doi:10.4007/annals.2009.170.819.
- ↑ a b Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 827–829, doi:10.4007/annals.2009.170.819.