Restklasse

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Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl modulo einer Zahl die Menge aller Zahlen, die bei Division durch denselben Rest lassen wie .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine von 0 verschiedene ganze Zahl und eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von modulo , geschrieben

ist die Äquivalenzklasse von bezüglich der Kongruenz modulo , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch den gleichen Rest wie ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen , die sich aus durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von ergeben:

.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten .

Die Menge aller Restklassen modulo schreibt man häufig als oder . Sie hat Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten (oder ) im Restklassenring ; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 0 modulo ist die Menge der Vielfachen von .
  • Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Ring und ein Ideal, so heißen Mengen der Form

Restklassen modulo . Ist kommutativ, oder ist ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge der Restklassen modulo eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo . wird durch Elemente in repräsentiert, wobei die Restklassen und in übereinstimmen, falls gilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.