Galoisverbindung

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Als Galoisverbindung bezeichnet man die mathematische Beschreibung einer Wechselbeziehung zwischen zwei Gesamtheiten (Mengen). Dabei wird jedem Element der einen Menge ein Element der anderen zugeordnet und umgekehrt, wobei noch bestimmte Regeln einzuhalten sind. Es wird angenommen, dass die beiden Gesamtheiten (partiell) geordnet sind. Die Regeln sollen dann sicher stellen, dass die Wechselbeziehung mit diesen Ordnungen verträglich ist.

Ein außermathematisches Beispiel einer solchen Wechselbeziehung wird durch das sogenannte Reziprozitätsgesetz der philosophischen Begriffslehre beschrieben: "Inhalt und Umfang eines Begriffs stehen gegen einander in umgekehrtem Verhältnis. Je mehr nämlich ein Begriff unter sich enthält, desto weniger enthält er in sich, und umgekehrt" [1] [2].

Benannt sind die Galoisverbindungen nach dem französischen Mathematiker Évariste Galois. Man unterscheidet monotone und antitone Galoisverbindungen. Das erwähnte Beispiel der Beziehung zwischen Begriffsumfang und Begriffsinhalt entspricht dem antitonen Fall (je mehr von dem einen, desto weniger vom anderen). Ohne Angabe von "monoton" oder "antiton" sind in diesem Artikel antitone Galoisverbindungen gemeint.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Antitone Galoisverbindung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine antitone Galoisverbindung zwischen zwei partiell geordneten Mengen ist ein Paar von Abbildungen , falls und antitone Abbildungen sind und ihre Kompositionen und extensiv sind. Das bedeutet, es müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

Äquivalent ist es zu fordern, dass

erfüllt ist.

Monotone Galoisverbindung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Eine monotone Galoisverbindung zwischen zwei partiell geordneten Mengen ist ein Paar von Abbildungen , falls und monotone Abbildungen sind, extensiv ist und intensiv. Das bedeutet, es müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

Äquivalent ist es zu fordern, dass

erfüllt ist. Eine monotone Galoisverbindung ist gerade der Spezialfall einer kategorientheoretischen Adjunktion , wo es sich bei den Kategorien um partiell geordnete Mengen handelt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine antitone Galoisverbindung zwischen und besitzt die folgenden Eigenschaften:

  • Symmetrie: ist eine Galoisverbindung zwischen und .
  • , per Symmetrie ebenso .
  • ist ein Hüllenoperator auf , und damit ist ein Hüllenoperator auf .
  • Eindeutigkeit: Ist eine weitere Galoisverbindung zwischen und , so ist . Ist eine weitere Galoisverbindung zwischen und , so ist

Eine monotone Galoisverbindung zwischen und besitzt die folgenden Eigenschaften:

  • und .
  • ist ein Hüllenoperator auf und ein Kernoperator auf .
  • Ist eine weitere monotone Galoisverbindung zwischen und , so ist . Ist eine weitere monotone Galoisverbindung zwischen und , so ist .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Theorie und Anwendung solcher Galoisverbindungen sind z.B. Gegenstand der Formalen Begriffsanalyse[3] (FBA). In der FBA bilden Gegenstände die eine Menge, die potentiellen Eigenschaften (Merkmale) die dazugehörige andere Menge.

Dabei sind und Potenzmengen, etwa und . Diese sind durch Inklusion halbgeordnet. Unter einer Galoisverbindung zwischen den Mengen und versteht man dann eine Galoisverbindung zwischen und . Solche können mit Hilfe von Relationen gewonnen werden: Sei eine Relation zwischen und . Die Abbildungen

,

stellen dann eine Galoisverbindung zwischen und her.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind die partiellen Ordnungen auf und gerade die Gleichheit, ist eine Galois-Verbindung (gleichgültig, ob monoton oder antiton) zwischen und ein Paar zueinander inverser Funktionen.
  • Die Einbettung der ganzen Zahlen in die reellen Zahlen bildet mit der Abrundungsfunktion eine monotone Galoisverbindung, , zwischen und mit ihren gewöhnlichen Ordnungen.
  • Für jede natürliche Zahl bilden die ganzzahlige Division durch , , und die Multiplikation mit , d.h. , eine monotone Galoisverbindung zwischen und , .
  • Zwischen einem Körper (mit Unterkörper ) und der Galoisgruppe von besteht die folgende Relation :
Daraus kann eine Galoisverbindung zwischen und definiert werden. Diese wird im Hauptsatz der Galoistheorie untersucht. Dieses Beispiel erklärt die Bezeichnung Galoisverbindung.
  • Betrachten wir einen Vektorraum und einen zweiten Vektorraum bestehend aus linearen Funktionalen von , d. h. einen Unterraum des Dualraumes . Wir definieren die Relation auf durch
Diese Relation definiert eine Galois-Verbindung zwischen und , aber auch zwischen deren Unterräumen. Man schreibt dann anstatt sowie anstatt , und es gilt
  • In der Algebraischen Geometrie besteht eine Galois-Verbindung z. B. zwischen den affinen algebraischen Mengen in und den Idealen im Polynomring , wobei einen algebraisch abgeschlossenen Körper bezeichnet. Dabei ordnet jeder algebraischen Menge das Ideal aller Polynome zu, die auf dieser Menge verschwinden und ordnet jedem Ideal diejenige algebraische Menge zu, die gemeinsame Nullstellenmenge aller Polynome in diesen Ideal ist.
  • In der Universellen Algebra, genauer in der Gleichungstheorie, existiert eine Galoisverbindung zwischen den Gleichungssystemen und den Klassen von Algebren. Dabei seien Algebren und Terme von einem festen Typ. Die Galoisverbindung wird als die Galoisverbindung der Gleichungstheorie bezeichnet und weicht von der ursprünglichen Definition dahingehend ab, dass nicht bloß auf Mengen, sondern auf Klassen operiert wird. Es sei ein Gleichungssystem über der Variablenmenge und eine Klasse von Algebren:
, die Klasse aller Modelle von
, die Menge aller in allen Algebren von gültigen Gleichungen über
  • In mit der Standardordnung gilt
.
Das heißt, und bilden eine monotone Galoisverbindung. Man kann diese Eigenschaft auch als Definition der Subtraktion einer Zahl relativ zur Addition derselben Zahl auffassen. Im Gegensatz zur Definition der Subtraktion als Addition des additiven Inversen ist sie auch in Situationen brauchbar, wo es keine negativen Zahlen gibt.
  • Für jede Abbildung gibt es die Urbildabbildung . Bezüglich der Teilmengenrelation hat diese links- und rechtsadjungierte , mit , definiert durch
und
.
ist als Bildung des Bilds unter bekannt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gottlob Benjamin Jäsche: Immanuel Kants Logik: ein Handbuch zu Vorlesungen. Hrsg.: J.H. v. Kirchmann. Friedrich Nicolovius, Berlin 1876, ISBN 978-5-88002-810-8.
  2. Gottlob Benjamin Jäsche: Immanuel Kants Logik. 30. Dezember 2015, abgerufen am 31. Januar 2018.
  3. Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen (= Springer-Lehrbuch). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.