Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen . Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen .
Definition
Es sei
K
{\displaystyle K}
ein algebraischer Zahlkörper , d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen . Dann ist der Ganzheitsring
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
von
K
{\displaystyle K}
definiert als der ganze Abschluss von
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
in
K
{\displaystyle K}
, d.h. die Teilmenge derjenigen
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
, die eine Gleichung der Form
x
n
+
c
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
c
1
x
+
c
0
=
0
{\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0}=0}
mit
c
i
∈
Z
{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {Z} }
erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von
x
n
{\displaystyle x^{n}}
(der Leitkoeffizient des Polynoms
x
n
+
c
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
c
1
x
+
c
0
{\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0}}
) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als normiert . Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper
K
{\displaystyle K}
.
Eine äquivalente Definition lautet:
Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung , die Hauptordnung auf K .
Eigenschaften
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
ist ein Dedekindring .
Beispiele
Ist
K
=
Q
(
i
3
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mathrm {i} {\sqrt {3}})}
, so ist
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
der Ring der Eisenstein-Zahlen
u
+
v
⋅
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle u+v\cdot {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}
mit
u
,
v
∈
Z
.
{\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} .}
Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
X
2
−
(
2
u
−
v
)
X
+
(
u
2
−
u
v
+
v
2
)
.
{\displaystyle X^{2}-(2u-v)X+(u^{2}-uv+v^{2}).}
Erfüllt umgekehrt
x
=
a
+
b
i
3
∈
K
{\displaystyle x=a+b\mathrm {i} {\sqrt {3}}\in K}
die Polynomgleichung
x
2
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^{2}+px+q=0}
mit
p
,
q
∈
Z
,
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,}
so folgt
p
=
−
2
a
{\displaystyle p=-2a}
und
q
=
a
2
+
3
b
2
{\displaystyle q=a^{2}+3b^{2}}
. Man kann zeigen, dass dann
a
+
b
{\displaystyle a+b}
und
2
b
{\displaystyle 2b}
ganzzahlig sind, also ist
x
=
(
a
+
b
)
+
2
b
⋅
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle x=(a+b)+2b\cdot {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}
eine Eisenstein-Zahl.
Ist
K
=
Q
(
i
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}
, so ist
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
der Ring der ganzen gaußschen Zahlen
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}
.
Allgemein sieht für den Ganzheitsring von
Q
(
d
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}
(wobei
d
{\displaystyle d}
ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
{
1
,
d
}
{\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}
falls
d
{\displaystyle d}
kongruent 2 oder 3 mod 4
{
1
,
1
+
d
2
}
{\displaystyle \{1,{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\}}
falls
d
{\displaystyle d}
kongruent 1 mod 4
Bezeichnet
ζ
{\displaystyle \zeta }
eine primitive
n
{\displaystyle n}
-te Einheitswurzel , so ist der Ganzheitsring des
n
{\displaystyle n}
-ten Kreisteilungskörpers
Q
(
ζ
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}
gleich
Z
[
ζ
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}
.
x
:=
x
0
+
x
1
⋅
i
+
x
2
⋅
j
+
x
3
⋅
k
{\displaystyle x:=x_{0}+x_{1}\cdot \mathrm {i} +x_{2}\cdot \mathrm {j} +x_{3}\cdot \mathrm {k} }
mit rationalen Zahlen
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
,
x
1
{\displaystyle x_{1}\,}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}\,}
,
x
3
{\displaystyle x_{3}\,}
, so ist
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
der Ring der Hurwitzquaternionen
H
=
{
x
0
+
x
1
⋅
i
+
x
2
⋅
j
+
x
3
⋅
k
∈
K
∣
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
∈
Z
oder
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
∈
Z
+
1
2
}
{\displaystyle H=\left\{x_{0}+x_{1}\cdot \mathrm {i} +x_{2}\cdot \mathrm {j} +x_{3}\cdot \mathrm {k} \in K\mid x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ oder }}\,x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}}
.
Siehe auch