Griechisch-lateinisches Quadrat

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Griechisch-lateinisches Quadrat der Größe 5

Ein griechisch-lateinisches Quadrat (GLQ) oder Eulersches Quadrat der Größe n ist ein quadratisches Schema mit n Zeilen und n Spalten, bei dem in jedem der Felder ein Zeichen aus einer Menge G und eines aus einer anderen Menge L eingetragen ist.

Dabei muss in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element aus G und ebenso jedes Element aus L genau einmal vorkommen, und jedes Tupel muss im gesamten Quadrat genau einmal vorkommen.

Ein GLQ ist eine Verallgemeinerung des sogenannten Lateinischen Quadrates. Während es beim lateinischen Quadrat um eine Menge geht, geht es beim GLQ um zwei Mengen. Das Konzept wurde von Leonhard Euler eingeführt, der für die Menge G Buchstaben des griechischen und für L Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendete. Daraus entstand der Name.

In den 1780er Jahren fand Euler Methoden zur Konstruktion von GLQ mit ungerader oder durch vier teilbarer Größe n. Es gelang ihm jedoch nicht, auch für Lösungen zu finden. Der Fall ist als Problem der 36 Offiziere bekannt geworden: sechs Regimenter stellen je sechs Offiziere mit sechs verschiedenen Dienstgraden, und sie sollen sich so in einem 6×6-Quadrat aufstellen, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Regiment und jeder Dienstgrad einmal vorkommt.

Euler vermutete entsprechend, dass es genau dann ein GLQ gibt, wenn . Dass es für keine Lösung gibt, wurde 1901 von Gaston Tarry gezeigt, aber im Jahr 1959 konstruierten R. C. Bose und S. S. Shrikhande Gegenbeispiele mit . Parker, Bose und Shrikhande bewiesen, dass für alle Größen außer und ein GLQ existiert.

Statistische Versuchsplanung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Agrarwissenschaftler möchte herausfinden, welche Düngerkonzentration und Bewässerungsmenge den Ernteertrag seiner Nutzpflanzen maximiert. Dazu unterteilt er sein Feld in mal einzelne Bereiche. In jedem der Bereiche wird eine der Düngerkonzentrationen , , oder mit und eine der Bewässerungsmengen , , oder mit verwendet. Die Anbaubedingungen können sich je nach Position im Feld unterscheiden, weshalb Blockfaktoren nötig sind. Zusammen mit den beiden interessierenden Faktoren Düngerkonzentration und Bewässerungsmenge ergibt das insgesamt Faktoren mit jeweils Faktorstufen. Ein randomisiertes lateinisches Quadrat als statistischer Versuchsplan kann in R mit der Funktion design.graeco aus dem Paket agricolae[1] generiert werden. Abweichend zur obigen Definition werden die Stufen des zweiten Faktors im folgenden Versuchsplan mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.

A a B b C c D d
B c A d D a C b
C d D c A b B a
D b C a B d A c

In diesem Versuchsplan kommt jede Faktorstufenkombination der beiden interessierenden Faktoren Düngerkonzentration und Bewässerungsmenge genau einmal vor, wodurch nur die Haupteffekte geschätzt werden können. Ist man zusätzlich an Wechselwirkungen interessiert, sollte jede Faktorstufenkombination mehrmals im Experiment durchgeführt werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Victor Bryant: Aspects of Combinatorics: A Wide-ranging Introduction. Cambridge University Press 1993, ISBN 0521429978.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Felipe de Mendiburu: agricolae: Statistical Procedures for Agricultural Research. 12. Juni 2016, abgerufen am 9. März 2017.