Hartley-Transformation

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Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.[1]

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.[2]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend des Faktor abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor auftritt.

Inverse Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

Bezug zur Fourier-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation

weicht durch ihren komplexen Kern:

mit der imaginären Einheit von dem rein reellen Kern der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

Der rote Korrekturfaktor verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Beziehungen des Hartley-Kerns[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den „Hartley-Kern“ lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:

Das Additionstheorem:

und

Die Ableitung ist gegeben als:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ralph Hartley: A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems. In: Institute of Radio Engineers (Hrsg.): Proceedings of the IRE. Vol. 30, Nr. 3, März 1942, ISSN 0096-8390, S. 144–150 (IEEE Xplore Digital Library [abgerufen am 25. August 2010]).
  2. R.N. Bracewell: Aspects of the Hartley transform. Proceedings of the IRE, 82 (3), 1994, doi:10.1109/5.272142.