Heisenberggruppe

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Als Heisenberggruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberggruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.

Die Heisenberggruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form

mit Einträgen , und , die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberggruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Heisenberggruppe mit Einträgen aus als zentrale Erweiterung der Gruppe auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf durch

eine Gruppenmultiplikation definiert und

beachtet.

Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lie-Algebra der Heisenberggruppe ist die Heisenberg-Algebra

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Quantenmechanik spielt die Heisenberggruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberggruppen. Als Matrizengruppe besteht die n-te Heisenberggruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe n + 2 der Gestalt

wobei ein Zeilenvektor der Länge , ein Spaltenvektor der Länge und die -Einheitsmatrix ist.