Hyperebene

Eine affine Hyperebene ist die Verallgemeinerung einer normalen Ebene im dreidimensionalen Raum auf höherdimensionale Vektorräume. Ein Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraums wird Hyperebene genannt, wenn er eine Dimension weniger als der Vektorraum hat. Für unendlichdimensionale Vektorräume wird eine andere Definition benötigt.

Ebenen im dreidimensionalen Raum

„Hyperebenenverhalten“ eines linearen Kongruenzgenerators in drei Dimensionen

Für eine Ebene im dreidimensionalen Raum reeller Zahlen R³ gilt die Gleichung:

r_x = r₀ + λ₁ v₁ + λ₂ v₂

wobei v und alle r dreidimensionale Vektoren, λ₁ und λ₂ jedoch reelle Zahlen sind. r₀, v₁ und v₂ sind konstant. Wenn λ₁ und λ₂ jeweils den gesamten reellen Zahlenbereich durchlaufen, überstreicht der Vektor r_x alle Punkte der durch die Gleichung gegebenen Ebene.

Voraussetzung hier ist, dass v₁ und v₂ keine Nullvektoren sind und nicht in dieselbe Richtung zeigen. Mathematisch bedeutet das, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind.

Formale Definition

Ebenen im dreidimensionalen Raum haben die Dimension 2, also eine Dimension weniger als der zugrunde liegende Raum. Mit dieser Eigenschaft kann man nun die Hyperebene für beliebige Vektorräume definieren. Da man im Falle eines unendlichdimensionalen Vektorraumes aber nicht einfach eine Dimension abziehen kann, muss die Kodimension betrachtet werden.

Einen (affinen) Unterraum eines Vektorraumes mit Kodimension 1 nennt man (affine) Hyperebene.

Eigenschaften von Hyperebenen

• Ist der zugrunde liegende Vektorraum endlich dimensional mit Dimension $n$, so sind die (affinen) Hyperebenen gerade die (affinen) Unterräume mit Dimension $n-1$.

Ein wichtiger Zusammenhang besteht zwischen Hyperebenen topologischer Vektorräume und linearen Funktionalen.

• Der Kern eines linearen Funktionals, das nicht 0 ist, ist eine Hyperebene
• Zu jeder Hyperebene existiert ein lineares Funktional, so dass der Kern des Funktionals die Hyperebene ist
• Ein Funktional ist genau dann stetig, wenn der Kern abgeschlossen ist
• Eine Hyperebene ist entweder abgeschlossen oder liegt dicht im Vektorraum

Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum

Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum ist ein dreidimensionaler Raum. Stellt man sich vor, dass wir in einem hypothetischen vierdimensionalen Raum leben würden, unsere Sinne aber nur drei davon erkennen, hätte das erstaunliche Konsequenzen:

Dreidimensionaler Raum, Ebene, Zaun und Grundstück

In unserem dreidimensionalen Raum kann man ein Grundstück, also einen Teil einer Ebene, durch einen zum Beispiel rechteckförmigen, jedenfalls geschlossenen Zaun vor dem Betreten schützen. Kann ich mich jedoch nach oben aus der Ebene herausbewegen (also in die dritte Dimension), etwa hüpfen, so kann ich den Zaun überwinden und beliebig unter Umgehung des Zauns auf das Grundstück und wieder herausgelangen, ohne den Zaun zu berühren.

Vierdimensionaler Raum, Hyperebene, Wände und Inhalt

Äquivalent wäre das (dreidimensionale) Volumen im Innern eines Tresors der Teil einer Hyperebene des vierdimensionalen Raums. Die Tresorwände stellen einen Quader dar, der das Äquivalent zum Zaun ist. Kann ich aus der Hyperebene des Tresors, also dem wahrgenommenen dreidimensionalen Raum heraus in die vierte Dimension "hüpfen", kann ich beliebig die Tresorwände umgehen und in den Tresor hinein- und wieder aus ihm herausgehen, ohne die Wände zu berühren oder Spuren zu hinterlassen.

Raumdimensionen (Anzahl Koordinaten)	3	4	n
Raum	R3	R4	Rn
Hyperebene	Ebene (R2)	(Teil-)Raum (R3)	n-1 dimensionaler Teilraum (Rn-1)
Teil einer Hyperebene	Grundstücksfläche	Tresorinnenraum	-
Begrenzung	Zaun (Rechteck)	Tresorwände (Quader)	-
Überwindung der Begrenzung	Hüpfen über den Zaun (Hüpfen in die 3. Dimension und zurück)	Hüpfen in die 4. Dimension und zurück, wie auch immer das gehen soll.	-

Siehe auch

• Euklidischer Raum
• Hyperwürfel