Inzidenzmatrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Inzidenzmatrix (auch Knoten-Kanten-Matrix) eines Graphen ist eine Matrix, welche die Beziehungen der Knoten und Kanten des Graphen speichert. Besitzt der Graph Knoten und Kanten ist seine Inzidenzmatrix eine -Matrix. Der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gibt an, ob der i-te Knoten teil der j-ten Kante ist. Steht an dieser Stelle eine 1, ist eine Inzidenzbeziehung gegeben, bei einer 0 liegt keine Inzidenz vor. Es wird davon ausgegangen, dass die Knoten von 1 bis n und die Kanten von 1 bis m durchnummeriert sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen schleifenfreien ungerichteten Graphen mit und ist die Inzidenzmatrix formal definiert durch:

Die Inzidenzmatrix eines ungerichteten Graphen enthält also in jeder Spalte genau 2 von 0 verschiedene Einträge

Gerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen schleifenfreien, gerichteten Graphen mit und ist die Inzidenzmatrix definiert durch:

wobei hier einen beliebigen Knoten darstellt.

Die Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen enthält also in jeder Spalte genau einmal die (Startknoten) und einmal die (Endknoten). Alternativ werden Inzidenzmatrizen auch manchmal mit umgekehrtem Vorzeichen definiert, heißt falls die Kante am Knoten beginnt und falls die Kante am Knoten endet. Dies ist insbesondere zu beachten, wenn man Ungleichungen betrachtet, die Inzidenzmatrizen enthalten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der untersuchte Graph mit der Nummerierung der Knoten und Kanten

Wir untersuchen nun als Beispielgraph den rechts stehenden Graphen, der dem Haus vom Nikolaus ähnelt mit der in dem Bild angegebenen Nummerierung der Knoten und Kanten. Um aus diesem Graphen eine Inzidenzmatrix zu erstellen, beginnen wir mit einer leeren Matrix. Diese enthält für den betrachteten Graphen Spalten und Zeilen. Die Kanten werden in die Spalten eingetragen und die Ecken in die Zeilen.

Die Zahlen an den Kanten sind dabei nicht mit Gewichtungen der Kanten zu verwechseln. Sie beschreiben die Namen der Kanten , die in der Matrix als Spalten wiederzufinden sind.

Nun werden für jede Spalte (Kante) die dazugehörigen Knoten mit 1 markiert, alle anderen Knoten mit 0. Es ergibt sich folgende Inzidenzmatrix:

Ist die Inzidenzmatrix korrekt aufgebaut, dann muss in jeder Spalte (Kante) in Summe 2 stehen, da jede Kante exakt 2 Punkte verbindet. Ist ein Punkt mit sich selbst verbunden, steht in der entsprechenden Zelle eine 2. Die Summe jeder Zeile entspricht den Kanten, die in den dazugehörigen Punkt führen.[1]

Gerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der im Beispiel behandelte gerichtete Graph

Als Beispiel einer Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen betrachten wir nun den rechts stehenden Graphen. Wieder nehmen wir die Nummerierung der Knoten als vorgegeben an. Die Kanten sind wie folgend nummeriert: Es ist und . Die Inzidenzmatrix ist also eine -Matrix.

Die Inzidenzmatrix ist korrekt aufgebaut: In jeder Spalte stehen zwei Nichtnulleinträge, welche sich zu Null addieren.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Speicherung von Graphen im Computer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inzidenzmatrizen werden in der Informatik zur Speicherung von Graphen verwendet. Die Inzidenzmatrix eines Graphen mit Knoten und Kanten benötigt allerdings einen Speicher von , das ist eine schlechtere Platzkomplexität als bei Speicherung mittels Adjazenzmatrizen oder Adjazenzlisten.

Spektrale Graphentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Des Weiteren finden Inzidenzmatrizen Anwendung in der spektralen Graphentheorie, wo versucht wird, aufgrund gewisser Eigenschaften der Inzidenzmatrix Rückschlüsse auf die Eigenschaften des repräsentierten Graphen zu ziehen.

Optimierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Inzidenzmatrix eines ungerichteten bipartiten Graphen ist eine total unimodulare Matrix, genauso wie die eines Digraphen. Daher lässt sich unter gewissen Voraussetzungen die Ganzzahligkeit der Lösung eines linearen Optimierungsproblems zeigen, wenn die zulässige Menge durch eine der vorhin genannten Inzidenzmatrizen definiert wird. Insbesondere stellt dies eine Verbindung zwischen diskreter Optimierung und Linearer Optimierung her.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Manfred Brill: Mathematik für Informatiker. Einführung an praktischen Beispielen aus der Welt der Computer. 2., völlig neu bearbeitete Auflage. Hanser Fachbuchverlag, München u. a. 2005, ISBN 3-446-22802-0, S. 161–169.