Isonormaler Gauß-Prozess

Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum $H$, der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L²-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.

Isonormaler Gauß-Prozess

Sei $(H,\langle ,\rangle _{H})$ ein separabler Hilbertraum über $\mathbb {R}$. Ein isonormaler Gauß-Prozess auf $H$ ist ein stochastischer Prozess

$W=\{W(h),h\in H\},$

definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$, so dass $W$ eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und

$\mathbb {E} [W(h)W(g)]=\langle h,g\rangle _{H}$

für alle $h,g\in H$ gilt.

Erläuterungen

Aus der Definition folgt, dass die Abbildung $W:h\mapsto W(h)$ eine lineare Isometrie

$W:H\to {\mathcal {H_{1}}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},P;\mathbb {R} )$

ist, denn für $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ und $h,g\in H$ gilt

${\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(W(\lambda h+\mu g)-\lambda W(h)-\mu W(g)\right)^{2}\right]&=\|\lambda h+\mu g\|_{H}^{2}+\lambda ^{2}\|h\|_{H}^{2}+\mu ^{2}\|g\|_{H}^{2}\\&-2\lambda \langle \lambda h+\mu g,h\rangle _{H}-2\mu \langle \lambda h+\mu g,g\rangle _{H}+2\lambda \mu \langle h,g\rangle _{H}\\&=0.\end{aligned}}$

Somit $P$-fast sicher $W(\lambda h+\mu g)=\lambda W(h)+\mu W(g)$. Aus der Linearität folgt auch sofort, dass $W$ wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum $H_{1}$ ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.

Existenz

Fixiere eine Orthonormalbasis $h_{0},h_{1},\dots \in H$ und betrachte $\xi _{0},\xi _{1},\dots$ iid und $\xi _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1),\forall i$.

Für ein beliebiges $h=\sum _{j}b_{j}h_{j}\in H$ definiere $W(h):=\sum _{j}b_{j}\xi _{j}$, wobei die Reihe fast sicher und in $L^{2}(\mathbb {P} )$ konvergiert, da $\sum _{j}b_{j}^{2}<\infty .$ Sei nun $W(g):=\sum _{j}a_{j}\xi _{j}$, dann gilt

$\mathbb {E} [W(h)W(g)]=\sum \limits _{i,j}a_{i}b_{j}\mathbb {E} [\xi _{j}\xi _{i}]=\sum \limits _{i}a_{i}b_{i}=\langle h,g\rangle$.

Beispiel

Weißes Rauschen

Sei $H:=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu )$, wobei $(T,{\mathcal {B}})$ ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß $\mu$. Dann definieren wir den Prozess

$W:=\{W(A),A\in {\mathcal {B}},\mu (A)<\infty \}$

durch

$W(A):=W(1_{A}).$

Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß $W:(T,{\mathcal {B}})\to L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, so dass

$W(A)\sim {\mathcal {N}}(0,\mu (A))$

falls $\mu (A)<\infty$. $W$ nennt man Weißes Rauschen basierend auf $\mu$ und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.

Ist $T=\mathbb {R} _{\geq 0}^{d}$ und $\mu$ das Lebesgue-Maß, dann ist $B_{t}:=W([0,t)^{d})$ das $d$-parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.

Analog für $H=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu ;\mathbb {R} ^{n})$ mit $T:=R_{\geq 0}^{d}$ und Lebesgue-Maß $\mu$ definiert

$B_{t}^{(n)}:=W([0,t)^{d}\otimes e_{n}),\quad t\geq 0$

das $(d,n)$-Brownsche Blatt $B_{t}=(B_{t}^{(1)},\dots ,B_{t}^{(n)})$ mit Kovarianz

$\mathbb {E} [B_{t}^{(n)}B_{s}^{(m)}]=\mathbb {E} [W([0,t)^{d}\otimes e_{n})W([0,s)^{d}\otimes e_{m})]=\langle 1_{[0,t)^{d}}\otimes e_{n},1_{[0,s)^{d}}\otimes e_{m}\rangle =\prod _{i=1}^{d}\delta _{n,m}(t\wedge s),$

für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun $d=1$, dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich $W$

$W(h)=\sum \limits _{k=1}^{n}\int _{T}h^{k}(s)\;dB_{s}^{(k)},$

und somit ein isonormaler Gauß-Prozess $W=\{W(h):h\in L^{2}(T,\mathbb {R} ^{n})\}$.