Maximales Ideal

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Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring. Dann heißt ein Ideal maximal, wenn ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D.h. für jedes echte Ideal gilt:

Aus folgt

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von gibt, das ganz enthält.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
  • Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
  • Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i.A. falsch, wie das Beispiel der Matrizenringe über (Schief)Körpern zeigt.
  • Sei ein Ideal des kommutativen Ringes mit 1. Der Faktorring ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
  • Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet. Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal, und der Faktorring wird als der Restklassenkörper des Rings bezeichnet.
  • Ein maximales (zweiseitiges) Ideal eines Ringes ist genau dann prim, wenn . Insbesondere ist prim, falls ein Einselement enthält.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ist , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit , ein maximales Ideal.