Radikal (Mathematik)

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In der mathematischen Disziplin der Algebra gibt es verschiedene Bedeutungen des Wortes Radikal.

In der Ringtheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primradikal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring mit Einselement. Der Durchschnitt über alle Primideale von heißt das Primradikal von . Es ist das kleinste Semiprimideal und ein Nilideal.

Im Fall eines kommutativen Ringes stimmt es mit dem Nilradikal (s. u.) überein.

Kommutativer Fall: Radikal eines Ideales und Nilradikal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein kommutativer Ring mit und ein Ideal in . Dann bezeichnet man mit

das Radikal von . Teilweise wird dieses auch mit oder mit bezeichnet.[1] Es ist ein Ideal in .

Ein Ideal, das mit seinem Radikal identisch ist, nennt man Radikalideal. Jedes Semiprimideal ist ein Radikalideal. Radikale und Radikalideale spielen eine wichtige Rolle in der algebraischen Geometrie, sie treten im Hilbertschen Nullstellensatz auf.

Das Nilradikal oder nilpotente Radikal eines Ringes R ist , also die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes. Teilweise wird es auch mit oder mit bzw. mit bezeichnet.[2][3] Es ist gleich dem Primradikal, also dem Schnitt aller Primideale. Ist das Nilradikal das Nullideal, d. h. ist die Null das einzige nilpotente Element, so heißt der Ring reduziert.

Jacobson-Radikal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Schnitt aller maximalen Linksideale eines Ringes wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Auflösung eines Polynoms durch Radikale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich mit der Auflösung von Polynomen in Radikale, also in Faktoren , wobei einen Ausdruck beschreibt, der lediglich durch rationale Zahlen, mittels der vier Grundrechenarten sowie unter Verwendung von Wurzeln darstellbar sein muss.

In der Gruppentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radikal einer Gruppe ist der größte auflösbare Normalteiler.

In der Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radikal einer ganzen Zahl ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren; dies ist eine multiplikative Funktion:

Das Radikal einer Primzahl ist die Primzahl selbst. Da gleiche Primfaktoren nur einmal gewertet werden, haben alle Potenzen einer Zahl das gleiche Radikal.

Beispiel: Die Zahl 324 hat das Radikal 6, da

.

Die Radikale der ersten natürlichen Zahlen lauten: 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13 … (Folge A007947 in OEIS)

Eine wichtige Bedeutung spielen Radikale in der abc-Vermutung.

In der Theorie der Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radikal einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra ist das größte auflösbare Ideal.

In der Theorie der algebraischen Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das unipotente Radikal einer algebraischen Gruppe ist ein maximaler abgeschlossener, zusammenhängender und unipotenter Normalteiler.

In der Projektiven Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radikal einer quadratischen Menge oder spezieller einer projektiven Quadrik ist die Menge der Punkte dieser Menge bzw. Quadrik, in denen der Tangentialraum aus allen Punkte des Gesamtraums besteht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 8
  2. Isaacs: Algebra, a graduate course. S. 420
  3. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 5