Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz

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Das Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz, benannt nach dem russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, ist ein Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets oder sind.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, und , , eine Folge unabhängiger σ-Algebren. Bezeichnet die zugehörige terminale σ-Algebra, so ist diese -trivial, d.h. für alle .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es genügt zu zeigen, dass unabhängig von sich selbst ist, denn dann gilt , also . Nach dem Prinzip der guten Mengen sei dazu die Menge aller von unabhängigen Ereignisse. Dann ist ein Dynkin-System. Da nach Definition -messbar ist, beinhaltet die -stabilen Systeme , ist also sogar eine -Algebra. Aus der -Additivität folgt, dass . Da gilt, folgt .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien unabhängige Zufallsvariablen, und die zu gehörige terminale -Algebra. Man zeigt leicht, dass . Die Folge konvergiert oder divergiert also fast sicher. Bezeichnet im ersten Fall den Limes, so lässt sich weiter zeigen, dass eine -messbare Zufallsvariable ist. Da trivial ist, muss notwendig konstant sein.

Außerdem lässt sich mittels dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage herleiten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]