Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz

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Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz, auch Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow genannt und auch in den alternativen Schreibungen Kolmogoroff oder Kolmogorov in der Literatur vertreten, ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie über die möglichen Wahrscheinlichkeiten von Grenzwerten. Es gehört zu den Null-Eins-Gesetzen und beschreibt somit eine Klasse von Ereignissen, die entweder fast sicher sind (also mit Wahrscheinlichkeit eins eintreten) oder fast unmöglich sind (also mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten).

Das Gesetz ist nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine Folge von σ-Algebren in , also für alle . Sind die σ-Algebren alle stochastisch unabhängig voneinander, so gilt:

Die terminale σ-Algebra der Folge ist P-trivial, das heißt für jedes terminale Ereignis ist entweder oder .

Dieselbe Aussage gilt ebenso für die terminale σ-Algebra einer Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen wie auch für die terminale σ-Algebra einer Folge von stochastisch unabhängigen Ereignissen.

Implikationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien unabhängige Zufallsvariablen, und die zu gehörige terminale -Algebra. Man zeigt leicht, dass . Die Folge konvergiert oder divergiert also fast sicher. Bezeichnet im ersten Fall den Limes, so lässt sich weiter zeigen, dass eine -messbare Zufallsvariable ist. Da trivial ist, muss notwendig konstant sein.

Außerdem lässt sich mittels dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage herleiten.

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiert man

,

so gilt:

ist unabhängig von .

Des Weiteren ist in enthalten, also gilt

ist unabhängig von für alle .

Dann ist auch unabhängig von und aufgrund der Schnittstabilität folgt

ist unabhängig von

Da allerdings in enthalten ist, folgt

ist unabhängig von ,

woraus direkt folgt, dass P-trivial ist.

Der Beweis für Folgen von Ereignissen oder Zufallsvariablen folgt analog, da die terminale σ-Algebra von Ereignissen und Zufallsvariablen als die terminale σ-Algebra der erzeugten σ-Algebren definiert ist.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz wird in der Literatur auf die folgenden Arten allgemeiner formuliert:

  • Es wird nicht für Folgen von unabhängigen σ-Algebren und deren terminale σ-Algebra formuliert, sondern allgemeiner für beliebige Mengensysteme. Für die Gültigkeit der Aussage muss dabei aber neben der Unabhängigkeit noch zusätzlich die Schnittstabilität der Mengensysteme gefordert werden. Ansonsten bleibt die Aussage unverändert. [1]
  • Es wird eine bedingte Version formuliert mit Rückgriff auf die bedingte Unabhängigkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit, wie sie über den bedingten Erwartungswert definiert wird. Dies bedeutet, man setzt
Dann lautet das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz:[2]
Ist eine Folge von bedingt unabhängigen, schnittstabilen Mengensystemen gegeben und ist die zugehörige terminale σ-Algebra, so gilt:
  • Es ist für alle
  • Zu jeder terminalen numerischen Zufallsvariable existiert eine -messbare Zufallsvariable , so dass gilt.
  • Für jedes terminale Ereignis gilt und es existiert ein , so dass ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 235.
  2. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 441.