Komplement (Verbandstheorie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Komplementäre Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem beschränkten Verband (Mathematik) nennt man ein Element ein Komplement von , wenn

und

gilt.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Elemente mehrere komplementäre Elemente geben. Ist das Komplement von eindeutig, dann werden verschiedene Bezeichnungen verwendet: bei Teilmengenverbänden ist üblich, bei Anwendungen in der Logik , bei Schaltalgebren .
Es gilt

.

In einem distributiven beschränkten Verband kann jedes Element höchstens ein Komplement haben [1]
Falls ein Komplement hat, dann hat auch ein Komplement, nämlich

.

Ein distributiver komplementärer Verband heißt boolescher Verband oder boolesche Algebra.

Hauptartikel: Boolesche Algebra

Relative Komplemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der nicht-modulare Verband ist komplementär: und sind beide Komplemente von .
Er ist nicht relativ-komplementär, denn im Intervall hat kein Komplement.

Sind Elemente eines Verbandes, dann heißt die Menge das durch a und b bestimmte Intervall.
Die Definition stimmt auf geordneten Mengen mit der eines abgeschlossenen Intervalls überein und es wird die gleiche Notation verwendet. [2]

Sind , dann heißt relatives Komplement von bezüglich , wenn

und gilt.

Auch hier gilt, dass es in mehrere zu komplementäre Elemente geben kann und dass aus dem Distributivgesetz die Eindeutigkeit folgt.

Ein Verband heißt relativkomplementär, wenn es in jedem Intervall zu jedem Element ein relatives Komplement gibt.

Ein relativkomplementärer Verband ist ein komplementärer Verband genau dann, wenn er beschränkt ist. Umgekehrt muss ein komplementärer Verband nicht relativkomplementär sein. Jedoch ist ein modularer komplementärer Verband relativkomplementär.[3]

Relative Komplemente können zur Charakterisierung von distributiven Verbänden dienen. Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.[4]

Pseudokomplemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regeln für Pseudokomplemente: und können vorkommen

Sind zwei Elemente eines Verbandes, dann nennt man ein größtes Element , für das gilt, ein relatives Pseudokomplement von bezüglich .

Ein relatives Pseudokomplement von bezüglich heißt Pseudokomplement von .

Ein Verband, in dem für jedes Element ein Pseudokomplement existiert, heißt pseudokomplementärer Verband.

Die Bezeichnung für Pseudokomplemente ist nicht einheitlich.[5]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn (relative) Pseudokomplemente existieren, dann sind sie eindeutig bestimmt.

In einem distributiven Verband bildet ein Ideal. Daher ist die Existenz von Pseudokomplementen in endlichen distributivenVerbänden gesichert. Die Distributivität ist wesentlich: ist nicht pseudokomplementär.

Für Pseudokomplemente muss nicht gelten, auch wenn der Verband distributiv ist. Es ist aber immer

und

Für Pseudokomplemente gilt eins der De Morganschen Gesetzen:

Für die duale Form gilt lediglich:

[6]

Ein distributiver relativ-komplementärer Verband heißt Heyting-Algebra.

Hauptartikel: Heyting-Algebra

Orthokomplemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Verband wird eine Funktion als Orthogonalisierung bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • und
  • ,

Der Verband (mit dieser Abbildung) wird als orthokomplementärer Verband bezeichnet. heißt Orthokomplement von (zu dieser Orthogonalisierung). [7]

Wenn ein distributiver komplementärer Verband ist, dann ist das Komplement von auch sein einzig mögliches Orthokomplement. Im Allgemeinen kann man aber auch in einem distributiven Verband mehrere verschiedene Orthogonalisierungen haben.

Beispiele zu Orthokomplementen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, dann bilden die zu orthogonalen Vektoren einen Vektorraum . und sind Orthokomplemente im (modularen) Verband der Unterräume von .
  • Das Beispiel der euklidischen Vektorräume kann zu beliebigen Vektorräumen mit einem inneren Produkt verallgemeinert werden. Verschiedene innere Produkte liefern dabei i. A. verschiedene Orthokomplemente im Verband der Unterräume von .

Dies sind typische Beispiele, die auch zur Namensgebung führten.

Beispiele für Orthokomplemente
Lattice M4.svg
Dieser Verband lässt 3 verschiedene Orthogonalisierungen zu.
T 30.svg
: Das normale Komplement ist jeweils das einzig mögliche Orthokomplement.
Hexagon lattice.svg
Für diesen Verband gibt es genau eine Orthogonalisierung.
M 3 mit Beschriftung.svg
Es gibt keine Orthogonalisierung für .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gericke Helmuth: Theorie der Verbände. 2. Auflage. BI, Mannheim 1967.
  • Grätzer George: Lattice Theory. First concepts and distributive lattices. W.H.Freeman and Company, 1971, ISBN 978-0-486-47173-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dies folgt aus der Kürzungsregel
  2. G. Grätzer, Lattice theory, S. 20. In H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 72 wird abweichend die Bezeichnung eingeführt.
  3. G. Grätzer, Lattice theory, S. 96.
  4. Die Beweisidee ist, dass in und jeweils die Kürzungsregel nicht gilt, vgl. H.Gericke, Theorie der Verbände, S. 113f
  5. G. Grätzer verwendet a* für das Pseudokomplement und a * b für das relative Pseudokomplement (G. Grätzer, Lattice Theory: Foundation, p 99). Gericke verwendet ein gespiegeltes -Symbol für die Bezeichnung. (H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 119) Auch oder kommen vor.
  6. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 120 f. Wegen dieser Eigenschaften können Pseudokomplemente zur Modellierung der intuitionistischen Logik verwendet werden.
  7. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 106; für die Funktion wird hier jedoch eine deutlichere Bezeichnung verwendet