Kreisschnittebene

3-achsiges Ellipsoid mit einem Kreis als ebenen Schnitt

Eine Kreisschnittebene ist in der Geometrie eine Ebene (im 3-dimensionalen Raum), die eine Quadrik (Ellipsoid, Hyperboloid, …) in einem Kreis schneidet. Eine Kugel wird von jeder Ebene, mit der sie wenigstens 2 Punkte gemeinsam hat, in einem Kreis geschnitten. Auch bei Rotationsquadriken (Rotations-Ellipsoid, -Hyperboloid, -Paraboloid, -Zylinder, …) ist die Lage einfach: Sie werden von allen Ebenen, die senkrecht zur Rotationsachse sind, in Kreisen geschnitten, falls sie wenigstens 2 Punkte gemeinsam haben. Nicht mehr offensichtlich ist die Lage bei 3-achsigen Ellipsoiden, echt elliptischen Hyperboloiden, Paraboloiden, Zylindern, …, obwohl es in diesen asymmetrischen Fällen sogar mehr Schnittkreise gibt. Es gilt:

• Jede Quadrik (Fläche im 3-dimensionalen Raum), die Ellipsen enthält, enthält auch Kreise (s. unten).

Quadriken, die nicht dazu gehören, sind: 1) parabolischer Zylinder, 2) hyperbolischer Zylinder und 3) hyperbolisches Paraboloid. Eine umfassende Diskussion aller Fälle ist z. B. in dem Buch von Grotemeyer (s. Literatur) enthalten.

Kreisschnitte von Quadriken wurden früher zur Anfertigung von Modellen verwendet (s. #Weblinks).

Kreisschnittebenen spielen auch in der Kristallographie eine Rolle.

Beschreibung der Methode

Um die Ebenen zu finden, die eine Quadrik in einem Kreis schneiden, werden zwei wesentliche Beobachtungen verwendet:

(K:) Liegt der Schnitt einer Quadrik mit einer Kugel (Hilfskugel) in einem Ebenenpaar (zwei sich schneidende Ebenen), so besteht der Schnitt aus zwei Kreisen.

(P:) Schneidet eine Ebene eine Quadrik in einem Kreis, so ist dies auch für alle dazu parallelen Ebenen, die wenigstens zwei Punkte mit der Quadrik gemeinsam haben, der Fall.

Um Kreise auf einer Quadrik zu finden, genügt es also eine Hilfskugel zu finden, die die Quadrik in einem Ebenenpaar schneidet. Dann liefern die zu den Ebenen parallelen Ebenen zwei Scharen von Schnittkreisen.

3-achsiges Ellipsoid mit Kreisschnitten (blau und grün) und der Hilfskugel (rot), die das Ellipsoid in den blauen Kreisen schneidet

Abbildung 1: Ellipsoid mit Kugeln geschnitten: $c<{\color {SeaGreen}r_{1}}<{\color {Blue}b}<{\color {Purple}r_{2}}<a$

3-achsiges Ellipsoid

Für das Ellipsoid mit der Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

und den Halbachsen $a>b>c>0$ verwendet man eine Hilfskugel mit der Gleichung

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .$

Der Kugelradius muss nun so bestimmt werden, dass der Schnitt des Ellipsoids mit der Kugel in einem Ebenenpaar durch den Ursprung liegt. Damit das absolute Glied herausfällt, zieht man die Kugelgleichung von dem $r^{2}$-Fachen der Ellipsoidgleichung ab. Es ergibt sich

$\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .$

Diese Gleichung beschreibt nur dann ein Ebenenpaar, wenn einer der drei Koeffizienten null ist. Sowohl für $r=a$ als auch für $r=c$ ergeben sich Gleichungen, die nur von Punkten der $x$-Achse bzw. $z$-Achse erfüllt werden. Nur der Fall $r=b$ führt auf ein Ebenenpaar mit der Gleichung

• $\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \Leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{a}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,$

denn nur in diesem Fall haben die verbleibenden Koeffizienten verschiedene Vorzeichen (wegen $a>b>c$).

Wie die Schnitte mit nicht geeigneten Kugeln aussehen, ist in Abbildung 1 zu erkennen: Radius ist zu groß (magenta) oder zu klein (cyan).

Nähern sich die Werte der Halbachsen $a$ und $b$ an, so nähern sich auch die beiden Scharen von Kreisen an. Für $a=b>c$ (Rotationsellipsoid) sind alle Kreisebenen orthogonal zur Rotationsachse.

Nachweis der Eigenschaft (P):
Dreht man das Ellipsoid um die $y$-Achse so, dass einer der beiden blauen Kreise in der $x-y$-Ebene liegt, so genügt das Ellipsoid einer Gleichung

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D{\color {red}xz}=E$

und für $z=0$ ergibt sich $Ax^{2}+By^{2}=E$. Damit das eine Kreisgleichung ist, muss $A=B\neq 0,\ E>0$ gelten. Schneidet man nun das Ellipsoid mit einer zur $x-y$-Ebene parallelen Ebene mit der Gleichung $z=z_{0}$, ergibt sich

$A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}$.

Diese Gleichung beschreibt einen Kreis oder einen Punkt oder die leere Menge. (Mittelpunkt und Radius ergeben sich nach quadratischer Ergänzung.)

Elliptisches einschaliges Hyperboloid

Einschaliges Hyperboloid

Für das Hyperboloid mit der Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0$

erhält man (wie beim Ellipsoid) für den Schnitt mit einer Kugel $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ die Gleichung

$\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .$

Nur für $r=a$ ergibt sich hieraus ein Ebenenpaar:

$\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \Leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y$

Elliptischer Zylinder

Elliptischer Zylinder

Für den elliptischen Zylinder mit der Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,$

erhält man die Gleichung

$\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .$

Nur für $r=a$ ergibt sich ein Ebenenpaar:

$\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \Leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y$

Bemerkungen:

1. Da aus dem obigen einschaligen Hyperboloid für $c\to \infty$ der Zylinder dieses Abschnitts wird, ergeben sich auch die Kreisebenen des Zylinders auf diesem Wege aus denen des Hyperboloids.
2. Ein elliptischer Zylinder kann also immer auch als schiefer Kreiszylinder aufgefasst werden.

Elliptisches Paraboloid

Abbildung 2: Elliptisches Paraboloid

Für das elliptische Paraboloid mit der Gleichung

$ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a\,{\color {red}{<}}\,b\ ,$

wählt man eine Kugel durch den Scheitel mit dem Mittelpunkt auf der Achse:

$x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0$

Nach Elimination des linearen Terms ergibt sich die Gleichung

$(2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .$

Nur für $r={\tfrac {1}{2a}}$ ergibt sich ein Ebenenpaar:

$\left({\frac {b}{a}}-1\right)y^{2}-z^{2}=0\quad \Leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {b-a}{a}}}\;y$

Bemerkung:
Der Radius der Kugel ist gleich dem Krümmungskreisradius der weiteren Parabel (s. Abbildung 2).

Elliptisches zweischaliges Hyperboloid

Abbildung 3: Elliptisches zweischaliges Hyperboloid

Das zweischalige Hyperboloid mit der Gleichung

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,$

verschiebt man zweckmäßigerweise so, dass ein Scheitel der Ursprung ist (s. Abbildung 3):

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \Leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0$

Die Kugel wählt man auch so, dass sie den Ursprung enthält und ihr Mittelpunkt auf der $z$-Achse liegt:

$x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0$

Nach Elimination des linearen Terms ergibt sich die Gleichung

$\left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ .$

Nur für $r={\tfrac {a^{2}}{c}}$ ergibt sich ein Ebenenpaar:

$\left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \Leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y$

Bemerkung:
Der Radius der Kugel ist gleich dem Krümmungskreisradius der weiteren Hyperbel (s. Abbildung 3).

Elliptischer Kegel

Abbildung 4: Elliptischer Kegel

Den elliptischen Kegel mit der Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,$

verschiebt man zweckmäßigerweise so, dass seine Spitze nicht im Ursprung ist (s. Abbildung 4):

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.$

Jetzt kann man eine Kugel um den Ursprung verwenden:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

Durch Elimination von $x^{2}$ ergibt sich:

$\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}$

Da Ebenen zu erwarten sind, die nicht durch den Ursprung gehen, führt man eine quadratische Ergänzung durch und erhält:

${\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}$

Damit diese Gleichung ein Ebenenpaar beschreibt, muss die rechte Seite null sein, d. h. $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ Löst man dann nach $z$ auf, ergibt sich:

$z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y$

Bemerkung:
Ein elliptischer Kegel kann also immer auch als schiefer Kreiskegel aufgefasst werden. Dabei sollte man aber beachten: Die Gerade durch die Kegelspitze und den Kreismittelpunkt ist nicht die Kegelachse (Symmetrieachse).

Literatur

• K. P. Grotemeyer: Analytische Geometrie. Göschen-Verlag, 1962, S. 143.
• H. Scheid, W. Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Spektrum, Heidelberg, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2, S. 132.

Weblinks

• H. Wiener, P. Treutlein: Verzeichnis mathematischer Modelle. (PDF; 9,8 MB).