Paraboloid

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid

Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen entweder durch eine Gleichung

  • elliptisches Paraboloid, oder
  • hyperbolisches Paraboloid,

beschrieben.

Offensichtlich enthalten beide Flächen viele Parabeln als ebene Schnitte (s. u.). Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

  • besitzt als Höhenschnitte () Kreise.
  • besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für ).

Eigenschaften von P1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

Tangentialebenen an P1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt an den Graphen einer differenzierbaren Funktion hat die Gleichung

.

Für ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt

.

Ebene Schnitte von P1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das elliptische Paraboloid ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel um die -Achse. Ein ebener Schnitt von ist:

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur -Achse) ist.
  • eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet in einem Kreis.
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine Bilder von P1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

.

besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls gilt.

ist

  • symmetrisch zu den - bzw. -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur -Achse, d. h. lässt invariant.
  • rotationssymmetrisch, falls ist.

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d. h. ) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.
  3. Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent (s. projektive Quadrik).

Eigenschaften von P2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

hyperbolisches Paraboloid: Parabeln, Geraden
hyperbolisches Paraboloid: Geraden

Tangentialebenen an P2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist die Gleichung der Tangentialebene (s. o.) im Punkt

.

Ebene Schnitte von P2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist (im Gegensatz zu ) keine Rotationsfläche. Aber wie bei sind bei auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit ist

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur -Achse) ist und eine Gleichung hat.
  • eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung hat.
  • ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (s. Bild).
  • eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (s. Bild).

Bemerkung:

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur - oder -Ebene sind alle kongruent zur Normparabel .
  2. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  3. Da die Fläche Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  4. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar (wie Zylinder und Kegel), da die Gaußkrümmung in jedem Punkt nicht ist. Die Gaußkrümmung ist überall . (Bei einer Kugel ist die Gaußkrümmung überall .) Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  5. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die -Achse um 45 Grad geht die Gleichung in die einfachere Gleichung über.
hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln als Höhenschnitte

Affine Bilder von P2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stapelchips ähneln in ihrer Form einem hyperbolischen Paraboloid, um die Stabilität zu erhöhen.
Bahnhof von Warszawa Ochota, Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

.

ist

  • symmetrisch zu den - bzw. -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur -Achse, d. h. lässt invariant.

Bemerkung:

  1. Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (s. Bild), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.
  2. Ein hyperbolisches Paraboloid ist projektiv zum einschaligen Hyperboloid äquivalent.

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ellipt. Paraboloid, parabol. Zylinder (Grenzfläche), hyperbol. Paraboloid

Lässt man in den Gleichungen

(Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

(Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter gegen laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

.

Dies ist die Gleichung eines Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (parabolischer Zylinder), s. Bild.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Paraboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien