Hyperboloid

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid

Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht.

  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht ein einschaliges Hyperboloid. Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Hauptachse entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung (analog zu den Gleichungen von Ellipsen und Hyperbel) beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (Kugel, Kegel, Paraboloid, …) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem ein- bzw- zweischaligen Hyperboloid ist:

Das einschalige Hyperboloid enthält Geraden, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen: z. B. Kühltürme. Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (s. u.), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

Einschaliges Hyperboloid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einschaliges Einheitshyperboloid H1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einschaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel (oben) bzw. einer Gerade (unten: rot oder blau)
Einschaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel in der x-z-Ebenen um ihre Nebenachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung

  • .

(Bei der Rotation wird durch ersetzt.) Offensichtlich ist jeder Höhenschnitt mit einer Ebene ein Kreis mit Radius . Der Schnitt der Ebene liefert die beiden Schnittgeraden . Durch Rotation dieser Geraden erhält man Parameterdarstellungen aller Geraden auf dem Hyperboloid:

Das einschalige Hyperboloid lässt sich also auch durch Rotation der Geraden oder (windschief zur Rotationsachse) erzeugen (s. Bild).

Tangentialebenen von H1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung der Tangentialebene einer implizit durch gegebenen Fläche in einem Punkt ist .

Für H1 ergibt sich

Ebene Schnitte von H1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (1 ist die Neigung der Geraden auf dem Hyperboloid) schneiden in einer Ellipse,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 durch den Nullpunkt schneiden in einem parallelen Geradenpaar,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 nicht durch den Nullpunkt schneiden in einer Parabel,
  • Tangentialebenen schneiden in einem sich schneidenden Geradenpaar,
  • Ebenen mit einer Neigung größer 1, die keine Tangentialebenen sind, schneiden in einer Hyperbel [1].

Eine Ebene, die eine Hyperboloid-Gerade enthält, ist entweder eine Tangentialebene und enthält damit eine zweite schneidende Hyperboloid-Gerade oder enthält eine zu parallele Hyperboloid-Gerade und ist damit „Tangentialebene in einem Fernpunkt“.

Affine Bilder von H1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog wie eine beliebige Ellipse als affines Bild des Einheitskreises aufgefasst werden kann, ist ein beliebiges einschaliges Hyperboloid das affine Bild des Einheitshyperboloids . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

Nur im Fall sind die Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man einschaliges Rotationshyperboloid.

Da ein beliebiges einschaliges Hyperboloid (wie das Einheitshyperboloid) Geraden enthält, ist es eine Regelfläche. Da jede Tangentialebene (eines einschaligen Hyperboloids) in der Nähe seines Berührpunktes die Fläche schneidet, hat es eine negative Gauß-Krümmung und ist deswegen nicht-abwickelbar, im Gegensatz zu den Regelflächen Kegel oder Zylinder (Gauß-Krümmung 0). Aus der üblichen Parameterdarstellung einer Hyperbel mit Hyperbelfunktionen erhält man die folgende Parameterdarstellung des Hyperboloids

Bemerkung: Das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid sind projektiv äquivalent.

Zweischaliges Hyperboloid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das zweischalige Einheitshyperboloid H2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweischaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel
Zweischaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel in der x-z-Ebenen um ihre Hauptachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung oder in üblicher Form

  • .

Der Schnitt der Ebene mit ist ein Kreis (falls ) oder ein Punkt (falls ) oder leer (falls ). besteht aus zwei Teilen, entsprechend den zwei Teilen der Hyperbel.

Tangentialebenen von H2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tangentialebene von in einem Punkt hat die Gleichung (s.o.)

Ebene Schnitte von H2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (Neigung der Asymptoten der erzeugenden Hyperbel) schneiden entweder in einer Ellipse oder in einem Punkt oder nicht,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und durch den Nullpunkt schneiden nicht,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und nicht durch den Nullpunkt schneiden in einer Parabel,
  • Ebenen mit einer Neigung größer 1 schneiden in einer Hyperbel [2].

Affine Bilder von H2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid ist das affine Bild des Einheitshyperboloids . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

Nur im Fall sind die nicht trivialen Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man zweischaliges Rotationshyperboloid.

Für ein zweischaliges Hyperboloid ergibt sich die folgende Parameterdarstellung:

Bemerkung: Das zweischalige Hyperboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent.

Symmetrieeigenschaften der Hyperboloide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie Ellipsen und Hyperbel haben auch Hyperboloide Scheitel und Nebenscheitel und Symmetrien. Die Hyperboloide sind offensichtlich

  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung,
  • symmetrisch zu den Koordinatenebenen und
  • rotationssymmetrisch zur z-Achse und symmetrisch zu jeder Ebene durch die z-Achse, falls ist.

Doppelkegel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Doppelkegel

Den Doppelkegel kann man als Grenzfläche zwischen den Scharen von ein- bzw. zweischaligen Hyperboloiden bzw. auffassen. Er entsteht durch Rotation der gemeinsamen Asymptoten der Erzeuger-Hyperbeln.

Gemeinsame Parameterdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten Hyperboloide zu parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit, das einschalige und zweischalige Hyperboloid und den Kegel zu parametrisieren, ist:

Für ergibt sich ein einschaliges, für ein zweischaliges Hyperboloid und für ein Doppelkegel.

Wasserturm in Frankreich in Form eines einschaligen Hyperboloids
Hafenturm in Kobe (Japan): einschaliges Hyperboloid

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X (Online [abgerufen am 1. April 2012]).
  • Burkhard Polster: A geometrical picture book. 1. Auflage. Springer, New York/ Berlin/ Heidelberg 1998, ISBN 0-387-98437-2.
  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band III. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]).
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. 2., überarb. und erw. Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, 1999, ISBN 3-411-14101-8.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122