Ellipsoid

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Kugel (oben, a=4),
Rotationsellipsoid (unten links, a=b=5, c=3),
triaxiales Ellipsoid (unten rechts, a=4.5, b=6, c=3)

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

  • Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der (kartesischen) Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt , dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen sind (analog zu einer Ellipse) die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte ihre 6 Scheitel.

  • Falls ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
  • Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
  • Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Parameterdarstellung eines Ellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Punkte auf der Einheitskugel können wie folgt parametrisiert werden (s. Kugelkoordinaten):

Skaliert man die einzelnen Koordinaten mit den Faktoren so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids :

mit und

Volumen eines Ellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumen des Ellipsoids ist

Eine Kugel mit Radius hat das Volumen

Herleitung

Der Schnitt des Ellipsoids mit einer Ebene in der Höhe ist die Ellipse mit den Halbachsen . Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist . Das Volumen ergibt sich dann aus

Oberfläche eines Ellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oberfläche eines Rotationsellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Rotationsellipsoid

Die Oberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoids mit ist

die des verlängerten Ellipsoids ()

Eine Kugel mit Radius hat die Oberfläche (s. Kugel).

Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. oder oben beim Rotationsellipsoid. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei . Schreibt man

und

so lauten die Integrale

und

Die Oberfläche hat mit und nach Legendre[1] den Wert

Werden die Ausdrücke für und sowie die Substitutionen

  und  

in die Gleichung für eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids streben alle drei angegebenen Formeln für gegen den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen und .

Ebene Schnitte eines Ellipsoids[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebener Schnitt eines Ellipsoids

Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer Ebene ist

  • eine Ellipse, falls er wenigstens zwei Punkte enthält,
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist,
  • andernfalls leer.

Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine Kugel in einem Kreis schneidet und ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse übergeht.

Der wahre Umriss eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

Ellipsoid in beliebiger Lage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipsoid als affines Bild der Einheitskugel

Parameterdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine affine Abbildung lässt sich durch eine Verschiebung um und eine reguläre 3×3-Matrix beschreiben: , wobei die Spaltenvektoren der Matrix sind.

Die Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der Einheitskugel und der Beschreibung einer affinen Abbildung:

Umgekehrt gilt: Wählt man einen Vektor beliebig und die Vektoren beliebig, aber linear unabhängig, so beschreibt die obige Parameterdarstellung in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren ein Orthogonalsystem, so sind die Punkte die Scheitel des Ellipsoids und die zugehörigen Halbachsen.

Ein Normalenvektor im Punkt ist

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine implizite Beschreibung angeben. Für ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Ursprung, d. h. , ist

ein implizite Darstellung.[2]

Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem (eventuell schiefen) Koordinatensystem (Ursprung), (Basisvektoren) die Einheitskugel.

Ellipsoid als Quadrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Quadrik

Ein beliebiges Ellipsoid mit Mittelpunkt lässt sich als Lösungsmenge einer Gleichung

schreiben, wobei A eine positiv definite Matrix ist.

Die Eigenvektoren von A bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die Eigenwerte von A sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen: , und .[3]

Ellipsoid in der projektiven Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schließt man den 3-dimensionalen affinen Raum und die einzelnen Quadriken projektiv durch eine Fernebene bzw. Fernpunkte (Quadriken) ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive Kollineation, die die eine Quadrik in die andere überführt:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.
  2. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.
  3. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]