Satz von der monotonen Konvergenz

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Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Maßraum. Ist eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen , die μ-fast überall, monoton wachsend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt

Variante für fallende Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen mit , die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt ebenso

Beweisidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

.[1]

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist eine Teil--Algebra und integrierbar, so gilt fast sicher

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wieder ein Maßraum. Für jede Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen gilt

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge der Partialsummen. Da die nichtnegativ sind, ist monoton wachsend.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 978-3-519-02395-1. Seiten 116 bis 118