Satz von der monotonen Konvergenz

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Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{S},\mu) ein Maßraum. Ist (f_n)_{n\in\N} eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen f_n:\Omega\to[0,\infty], die μ-fast überall, monoton wachsend gegen eine messbare Funktion f:\Omega\to[0,\infty] konvergiert, so gilt

\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ \mathrm d\mu.

Variante für fallende Folgen[Bearbeiten]

Ist (f_n)_{n\in\N} eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen f_n:\Omega\to[0,\infty] mit \int_\Omega f_1\ \mathrm d\mu < \infty, die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion f:\Omega\to[0,\infty] konvergiert, so gilt ebenso

\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ \mathrm d\mu.

Beweisidee[Bearbeiten]

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{A},P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (X_n)_{n\in\N} eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

\lim_{n\to\infty}E(X_n)=E(\lim_{n\to\infty} X_n).[1]

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist \mathcal{G}\subset\mathcal{A} eine Teil-\sigma-Algebra und \lim_{n\to\infty} X_n integrierbar, so gilt fast sicher

\lim_{n\to\infty}E(X_n \mid \mathcal{G})=E(\lim_{n\to\infty} X_n \mid \mathcal{G}).

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{S},\mu) wieder ein Maßraum. Für jede Folge (f_n)_{n\in\N} nichtnegativer, messbarer Funktionen f_n \colon \Omega\to[0,\infty] gilt

\int_\Omega \sum_{n=1}^\infty f_n \ \mathrm d\mu =\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega f_n \ \mathrm d\mu.

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge \textstyle s_N = \sum_{n=1}^N f_n der Partialsummen. Da die f_n nichtnegativ sind, ist (s_N)_{N \in \N} monoton wachsend.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 9783519023951. Seiten 116 bis 118