Lemma von Schanuel

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Das Lemma von Schanuel, benannt nach Stephen Schanuel, ist eine einfache und grundlegende Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra.

Formulierung des Lemmas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring und es seien

kurze exakte Sequenzen in der Kategorie der links--Moduln mit projektiven . Dann gilt , das heißt, die beiden direkten Summen sind isomorph. [1]

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine projektive Auflösung, so dass projektiv ist, so gilt das für jede projektive Auflösung.

Ist nämlich eine weitere projektive Auflösung, so betrachte die kurzen exakten Sequenzen

Nach dem Lemma von Schanuel ist , das heißt ist direkter Summand des nach Voraussetzung projektiven Moduls und daher ebenfalls projektiv.

Entstehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stephen Schanuel entdeckte dieses Lemma 1958 während einer von Irving Kaplansky gehaltenen Vorlesung über homologische Algebra. Dabei ging es im Wesentlichen um die oben genannte Anwendung. Kaplansky berichtet[2]:

Während einer Vorlesung führte ich den ersten Schritt einer projektiven Auflösung eines Moduls aus und erwähnte, dass, wenn der Kern einer Auflösung wieder projektiv ist, das auch für alle gelte. Ich fügte hinzu, dass diese Aussage zwar einfach sei, der Beweis aber noch einige Zeit beanspruchen würde. Da ergriff Steve Schanuel das Wort und erklärte mir und den Studenten, dass dies ziemlich einfach sei, und skizzierte das, was heute als "Lemma von Schanuel" bekannt ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Proposition 2.8.26
  2. Irving Kaplansky: Fields and Rings, University Of Chicago Press (1972), ISBN 0-226-42451-0, Seite 166