Lemma von Schur

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen einfachen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist.

Formulierungen des Lemmas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lemma von Schur in der modultheoretischen Fassung lautet ( sei ein Ring mit 1):

Es seien , einfache -Linksmoduln. Dann gilt:

  1. ist ein Schiefkörper.

In der darstellungstheoretischen Fassung lautet das Lemma von Schur ( sei eine endliche Gruppe, ein Körper):

Es seien irreduzible Darstellungen von . Dann gilt:

  1. Es sei mit . Dann gilt: oder ist bijektiv (und in diesem Fall sind und äquivalent).
  2. ist ein Schiefkörper.

Die zweite Aussage gilt auch in der Umkehrung, sodass genau dann ein Schiefkörper ist, wenn die Darstellung irreduzibel ist.

Aufgrund des Zusammenhangs von Darstellungen von über und KG-Moduln besagen beide Fassungen das gleiche.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis (der darstellungstheoretischen Fassung) benötigt nur elementare lineare Algebra[1]. Es seien invertierbare -Matrizen, invertierbare -Matrizen, und es sei eine -Matrix. Für die Matrizenprodukte gelte

Dann ist der Kern von ein invarianter Teilraum für die Darstellung , denn aus folgt . Wegen der Irreduzibilität von kann nur der Nullvektorraum oder der ganze Vektorraum sein. Im ersten Fall ist invertierbar und vermittelt eine Ähnlichkeitstransformation zwischen den Darstellungsmatrizen und . Im zweiten Fall ist die Nullmatrix.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für praktische Zwecke (Tabellierung) werden die Matrizen einer irreduziblen Darstellung gelegentlich standardisiert. Z. B. dienen bei der Drehgruppe die gemeinsamen Eigenvektoren von Drehungen um eine ausgewählte Achse als Standardbasis. In solchen Fällen sind die Matrizen von irreduziblen Darstellungen und entweder inäquivalent oder identisch. Damit wird folgender Zusatz zum Schurschen Lemma relevant:

Aus für alle folgt , d. h. ist ein komplexes Vielfaches der Einheitsmatrix.

Beweis: Es sei ein (komplexer) Eigenwert von , und sei ein zugehöriger Eigenvektor. Mit der vorausgesetzten Gleichung gilt auch

Daher ist der Kern von ein invarianter Teilraum der Darstellung und kann wegen Irreduzibilität nur der Nullraum oder der ganze Raum sein. Da der Eigenvektor zum Kern gehört, bleibt nur die zweite Möglichkeit. Also gilt .

Ein einfaches Korollar des Lemmas von Schur ist, dass jede komplexe irreduzible Darstellung einer abelschen Gruppe eindimensional sein muss.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M. Chaichian, R. Hagedorn, Symmetries in quantum mechanics: from angular momentum to supersymmetry, Institute of Physics Publishing, Bristol 1998