Lineare Disjunktheit

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In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper und einer Körpererweiterung linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von , die über linear unabhängig ist, auch über linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von und ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper , d. h.

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen und endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Körpererweiterung ist genau dann regulär, wenn linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss von ist.
  • Eine Erweiterung eines Körpers der Charakteristik ist genau dann separabel, wenn linear disjunkt zu
ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]