Lineare Disjunktheit

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In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper M und N einer Körpererweiterung L/K linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von M, die über K linear unabhängig ist, auch über N linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

M\otimes_KN\to L

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von M und N ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper K, d. h.

M\cap N=K.

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen M/K und N/K endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

K^{p^{-\infty}}=\{x\in\bar K\mid\exists n\colon x^{p^n}\in K\}
ist.

Literatur[Bearbeiten]