Lineare Vorhersage

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Lineare Vorhersage (engl. linear prediction) ist ein mathematisches Verfahren der Zeitreihenanalyse, welches zukünftige Werte eines Signals beziehungsweise einer diskreten Zeitreihe als eine lineare Funktion der Werte der Vergangenheit der gleichen Zeitreihe schätzt. Eine Variante ist das ökonometrische Verfahren, welches zusätzlich Werte einer weiteren Zeitreihe, von deren Werten die betrachtete Zeitreihe abhängt, berücksichtigt.

Für zentrierte, reelle und stationäre Zeitreihen sind die Koeffizienten der Schätzfunktionen durch die Yule-Walker-Gleichungen gegeben, dies entspricht der Modellierung durch einen AR(p)-Prozess. Weiter finden Verfahren der orthogonalen Projektion (Gram-Schmidt-Verfahren) Anwendung.

Die Bezeichnung linear prediction wird auch abkürzend für die Anwendung dieser Theorie in der digitalen Signalverarbeitung verwendet, siehe linear predictive coding.

Mathematische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine übliche (eindimensionale) Darstellung ist

,

mit und , wobei der vorhergesagte Wert, die bereits beobachteten Werte und die Schätzkoeffizienten darstellen. Der Schätzfehler hat die Darstellung

,

worin den wahren Wert zum Zeitpunkt bezeichnet.

Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Parameter bestimmt werden.

Für mehrdimensionale Zeitreihen wird eine Fehlermetrik der Gestalt

definiert, wobei für eine geeignete Vektornorm gewählt wird.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33571-4.