Metrischer Tensor

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Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der metrische Tensor über einem affinen Punktraum mit reellem Verschiebungsvektorraum ist eine Abbildung von in den Raum der Skalarprodukte auf . Das heißt, für jeden Punkt ist

eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass für einige oder alle Punkte nur positiv semidefinit ist, d.h. die Forderung der Definitheit

für alle

wird abgeschwächt zu

für alle .

Ein solcher Tensor heißt dann pseudometrischer Tensor.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt abhängige) Länge (Norm) auf dem Vektorraum :

Analog zum Standardskalarprodukt ist der Winkel im Punkt zwischen zwei Vektoren definiert durch:

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein lokales Koordinatensystem auf V mit Basis aus V gewählt wird, schreibt man die Komponenten von als . Unter Verwendung der einsteinschen Summenkonvention ist dann für die Vektoren und

.

Im Sinne der Kategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf (B,W) ein metrischer Tensor auf (A,V) konstruiert werden kann,

.

In der Physik wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung als kovariant bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als

bzw.

gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als

und es gilt für den metrischen Tensor

Länge von Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine differenzierbare Kurve im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt t einen Tangentialvektor

.

Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge

zuordnen.

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ausdruck

,

wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißt Linienelement. Substituiert man gemäß der Kettenregel

und ,

so ergibt sich

.

ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer Kurvenlänge.

Induzierter Metriktensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat man eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit eines riemannschen Raumes mit der Metrik , die mittels der Parameterdarstellung

gegeben ist, wird eine Metrik induziert. Die nennt man induzierte Koordinaten. Betrachtet man eine Kurve

auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der Kettenregel

.

Die Größe

ist der induzierte Metriktensor. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Euklidischer Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix

gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen. Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten wobei die Vektoren der Standardbasis sind. Für beliebige Vektoren und des euklidischen Raums gilt

Hier wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Für die Kurvenlänge

und den Winkel

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix der Einbettung als

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:

  • In Polarkoordinaten :
, bzw.
  • In Zylinderkoordinaten :
, bzw.
  • In Kugelkoordinaten :
, bzw.

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Minkowski-Raum

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand und Zeitspanne als

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch .

Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in der Quantenfeldtheorie verwendet wird (Signatur −2, also +,−,−,−)

.

In einer Konvention, die hauptsächlich in der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird (Signatur +2, also −,+,+,+), schreibt man

.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der metrische Tensor ortsabhängig und bildet daher ein Tensorfeld, da die Krümmung der Raumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-94260-0.
  • Chris Isham: Modern Differential Geometry for Physicists. Allied Publishers, 2002, ISBN 81-7764-316-9.