Liouville-Gleichung

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Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Klassische Gleichung[Bearbeiten]

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte \rho im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung nach der Zeit verschwindet:

\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i = 1}^{N} \left[ 
\frac{\partial \rho }{\partial q_{i}} \dot {q}_{i} + \frac{\partial \rho }{\partial p_{i}} \dot {p}_{i} \right] = 0

wobei

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man \dot q_i und \dot p_i gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

\frac{\partial}{\partial t} \rho(\tau,t) = -\{ \, \rho(\tau,t) , H \, \} = \{ \, H, \rho(\tau,t) \, \}

wobei

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Die Liouvillegleichung kann bei Einführung des Liouvilleoperators

L = \sum_{i = 1}^{n} \left[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}} \right] = \{ \cdot, H \}

auch wie folgt geschrieben werden:

\frac{\partial \rho }{\partial t} = -{L} \rho

Quantenmechanische Gleichung[Bearbeiten]

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}[\rho,H]

Hier bezeichnet

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator L einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator A:

L A = \frac{i}{\hbar}[A,H]

Damit schreibt sich die von Neumann Gleichung:

\frac{\partial \rho}{\partial t} = L \rho

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

\lim\limits_{\hbar \rightarrow 0}~ \frac{i}{\hbar} [\hat{A},\hat{B}] = \{{A}_w,{B}_w\}

Literatur[Bearbeiten]

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004