Poisson-Klammer

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Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poisson-Klammer ist definiert als

mit

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen und definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien und zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:
.
Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern



(Kronecker-Delta).

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hamiltonsche Bewegungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen eines Hamiltonschen Systems ausgedrückt werden.

Diese Zeitevolution einer beliebigen Observablen wird beschrieben durch die totale Ableitung nach der Zeit:

.

Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

und

ergibt

.

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

.

Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn gilt:

Ist nicht explizit zeitabhängig , so wird daraus:

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch mal den Kommutator:[1]
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch , die Poisson-Klammer der Funktionen und durch:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081