Poisson-Klammer

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Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poisson-Klammer ist definiert als

mit

Hamiltonsche Bewegungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen eines Hamiltonschen Systems ausgedrückt werden.

Die totale Ableitung nach der Zeit einer beliebigen Observablen ist

und beschreibt die Zeitevolution der Observablen. Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

und

ergibt

.

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen und , die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen, definiert werden. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Invarianz

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien und zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt

.

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern




welche einfach aus den trivialen Beziehungen

folgen.

Dabei ist das Kronecker-Delta.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable
  • Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn
gilt. Ist nicht explizit zeitabhängig, wird daraus
  • In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer durch mal den Kommutator ersetzt.[1]
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit in lokalen Koordinaten durch gegebener symplektischer Form die Poisson-Klammer der Funktionen und durch

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081