Totales Differential

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Das totale Differential (auch vollständiges Differential) ist im Gebiet der Differentialrechnung eine alternative Bezeichnung für das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen total differenzierbaren Funktion bezeichnet man mit das totale Differential, zum Beispiel:

Hierbei ist eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt: ein „nicht-kursives d“ beim totalen Differential und ein „kursives d“ () für die partiellen Ableitungen. Zu beachten ist, dass im Folgenden immer die totale Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird, und nicht nur die Existenz der partiellen Ableitungen, durch die in der obigen Formel dargestellt wird.

Traditionell, und noch heute oft in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften, versteht man unter einem Differential wie infinitesimale Differenzen. In der heutigen Mathematik versteht man darunter Differentialformen (genauer: 1-Formen). Diese kann man entweder als rein formale Ausdrücke auffassen oder als lineare Abbildungen. Das Differential einer Funktion im Punkt ist dann die lineare Abbildung (Linearform), die jedem Vektor die Richtungsableitung von am Punkt in Richtung von zuordnet. Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch totale Ableitung genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im , in einem andern Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern.

Einfacher Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Totales Differential im einfachen Fall

Für eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen versteht man unter dem totalen Differential den Ausdruck[1]

Totales Differential heißt der Ausdruck, weil er die gesamte Information über die Ableitung enthält, während die partiellen Ableitungen nur Information über die Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen enthalten. Die Summanden und werden gelegentlich auch partielle Differentiale genannt.[2]

Anwendung (Verkettung)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hängen und von einer Größe ab (zum Beispiel wenn sie die Bahn eines Punktes in der Ebene in Abhängigkeit von der Zeit beschreiben), sind also Funktionen und gegeben, so kann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

wie folgt berechnet werden:

Die Ableitungen von und lassen sich als und schreiben. Man setzt dies in den obigen Ausdruck ein und erhält damit

bzw. in der in der Physik üblichen Schreibweise

also

Formal wird also einfach das totale Differential durch dividiert. Mathematisch ist dies eine Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel (siehe unten).

Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Mechanik werden typischerweise Situationen behandelt, in denen die Funktion nicht nur von den Ortskoordinaten und abhängt, sondern auch von der Zeit. Wie oben wird der Fall betrachtet, dass und die Ortskoordinaten eines sich bewegenden Punktes sind. In dieser Situation hängt die zusammengesetzte Funktion

in doppelter Weise von der Zeit ab:

  1. Dadurch, dass selbst in der ersten Variablen von abhängt. Diese Zeitabhängigkeit nennt man explizit.
  2. Dadurch, dass die Ortskoordinaten und von abhängen. Diese Zeitabhängigkeit nennt man implizit.

Man spricht nun von der partiellen Ableitung von nach der Zeit, wenn man die partielle Ableitung der ersten Funktion meint, also

bei festen und . Hier wird also nur die explizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Hingegen spricht man von der totalen Ableitung von nach der Zeit, wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion meint, also

Die beiden hängen wie folgt zusammen:

Hier werden also die explizite und die implizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Ein Beispiel hierfür aus der Fluidmechanik: Mit werde die Temperatur zur Zeit am Ort bezeichnet. Die partielle Ableitung beschreibt dann die zeitliche Temperaturänderung an einem festen Ort . Die Temperaturänderung, die ein sich mit der Strömung bewegendes Teilchen erfährt, hängt aber auch von der Ortsänderung ab. Die totale Ableitung der Temperatur lässt sich dann wie oben mit Hilfe des totalen Differentials beschreiben:

bzw.

Das totale Differential als lineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reeller Vektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Fall, dass eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums ist und eine differenzierbare Funktion von nach , ist zu jedem Punkt das totale Differential eine lineare Abbildung, die jedem Vektor die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet, also

.

Da das totale Differential eine lineare Abbildung nach ist, also eine Linearform, lässt es sich in folgender Form schreiben

,

wobei die Linearform ist, die einem Vektor seine -te Komponente zuordnet, das heißt (duale Basis).

Unter Zuhilfenahme des Gradienten lässt sich das totale Differential auch wie folgt schreiben:

,

wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt steht.

Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt das totale Differential eine lineare Abbildung, die jeder Tangentialrichtung die Richtungsableitung in diese Richtung zuordnet. Ist der Tangentialvektor einer Kurve in mit , so ist

Das totale Differential ist somit ein Element des Kotangentialraums von am Punkt .

Für eine Darstellung von in Koordinaten betrachte man eine Karte einer Umgebung des Punkts mit . Mit werde die Standardbasis des bezeichnet. Die verschiedenen Kurven repräsentieren eine Basis des Tangentialraums und mittels

erhält man die partiellen Ableitungen. Analog zum reellen Vektorraum gilt dann

,

wobei das totale Differential der Funktion ist, also das Element aus dem Kotangentialraum , das dual zum Basisvektor ist.

Betrachtet man Tangentialvektoren als Derivationen, so gilt .

Kettenregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine differenzierbare Funktion und ist , ein differenzierbarer Weg (zum Beispiel die Beschreibung eines sich bewegenden Punktes), so gilt für die Ableitung der verketteten Funktion:

Die analoge Aussage gilt für Mannigfaltigkeiten.

Differential und lineare Approximation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung einer total differenzierbaren Funktion im Punkt ist eine lineare Abbildung (Funktion), die die Funktion

approximiert, also

mit  

für kleine Änderungen .

In der modernen Mathematik bezeichnet man als (totales) Differential von im Punkt gerade diese Funktion (siehe oben). Die Begriffe „totales Differential“ und „totale Ableitung“ sind somit gleichbedeutend. Die Darstellung

ist also eine Gleichung zwischen Funktionen. Auch die Differentiale sind Funktionen, nämlich die Koordinatenfunktionen, die dem Vektor die -te Komponente zuordnen: Die Approximierungseigenschaft schreibt sich somit als

Differentiale als kleine Änderungen

In der traditionellen, in vielen Naturwissenschaften verbreiteten Sichtweise stehen die Differentiale für die kleinen Änderungen selbst. Das totale Differential von steht dann für den Wert der genannten linearen Abbildung, und die Approximationseigenschaft schreibt sich als

bzw:

Beispiele für diese Sichtweise zeigen das nebenstehende Bild und das Bild oben.

Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes totale Differential ist eine -Form, das heißt besitzt folgende Darstellung

,

man sagt, die -Form ist exakt. Im Kalkül der Differentialformen wird die Cartan-Ableitung als folgende -Form beschrieben:

Handelt es sich bei tatsächlich um ein totales Differential einer -Funktion , d. h. gilt , so ist

nach dem Satz von Schwarz.

Lokal gilt auch immer die Umkehrung: Erfüllt die 1-Form die Bedingung , man sagt, ist geschlossen, so existiert zumindest in einer Umgebung jedes gegebenen Punktes eine Stammfunktion von , d. h., eine differenzierbare Funktion , so dass ist. Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Man nennt die Bedingung deshalb auch Integrabilitätsbedingung. Ausführlich formuliert lautet sie:

Für alle Indizes gilt   ,

bzw:

Für alle Indizes gilt   ,

was im Hinblick auf physikalische Anwendungen auch als verallgemeinerte Rotationsbedingung bezeichnet wird.

In vielen Fällen existiert dann sogar eine globale Stammfunktion und ist tatsächlich ein totales Differential. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Definitionsbereich der Differentialform der euklidische Raum ist, oder allgemeiner wenn er sternförmig oder einfach zusammenhängend ist.

Die Aussage, dass auf einer Mannigfaltigkeit jede 1-Form, die die Integrabilitätsbedingung erfüllt, eine Stammfunktion besitzt (also ein totales Differential ist), ist äquivalent dazu, dass die erste de-Rham-Kohomologie-Gruppe trivial ist.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man und eine beliebige -Form . Dann gilt aus Dimensionsgründen immer und die für gültige Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit gibt es eine Funktion die die Gleichung bzw. erfüllt. Dies ist gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ganz analog (im Prinzip komponentenweise) lässt sich die totale Ableitung für vektorwertige Funktionen definieren. Als Verallgemeinerung für Abbildungen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erhält man Pushforwards.

In der Funktionalanalysis kann man den Begriff der totalen Ableitung in naheliegender Weise für Fréchet-Ableitungen verallgemeinern, in der Variationsrechnung für die sog. Variationsableitungen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle Lehrbücher der Analysis, üblicherweise Band 2, „Mehrere Veränderliche“, etc.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure. Band 2, 5. Auflage, 1990.
  2. Ilja N Bronstein; Konstantin A Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 7. überarb. und erg. Aufl., Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9