Mills’ Konstante

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Mills’ Konstante ist in der Zahlentheorie definiert als die kleinste positive reelle Zahl A, so dass das Abrunden der doppelten Exponentialfunktion

eine Primzahl ergibt für alle positiven ganzen Zahlen n. Die Konstante wurde nach William H. Mills benannt der 1947 die Existenz von A bewies[1] und sich auf die Arbeiten von Guido Hoheisel und Albert Ingham zu Primzahllücken stützte. Der genaue Wert der Konstante ist unbekannt, aber sofern die Riemann-Hypothese wahr ist, beträgt dieser etwa 1,3063778838630806904686144926… (Folge A051021 in OEIS).

Mills-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch Mills’ Konstante erzeugten Primzahlen sind als Mills-Primzahlen bekannt. Wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, beginnt diese Folge mit
2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, … (Folge A051254 in OEIS). Wenn ai die i-te Primzahl der Folge bezeichnet, dann kann ai berechnet werden als die kleinste Primzahl größer . Um sicherzustellen, dass Runden von für n = 1, 2, 3, … eine Primzahlfolge produziert, muss zudem gelten. Die Hoheisel-Ingham-Abschätzung garantiert, dass zwischen zwei beliebigen genügend großen Kubikzahlen stets eine Primzahl liegt, was ausreichend ist, um diese Ungleichung für eine genügend große erste Primzahl zu beweisen. Da die Riemann-Hypothese impliziert, dass zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Kubikzahlen eine Primzahl liegt, kann die Einschränkung von „genügend großen“ Zahlen fallen gelassen werden, woraus sich die kleinste Mills-Primzahl von a1 = 2 ergibt.

Die 10. und größte gegenwärtig bekannte Mills-Primzahl (unter Annahme der Riemann-Hypothese) ist (Folge A108739 in OEIS):

mit 20.562 Stellen. Die Stellenzahl verdreifacht sich dabei grob für jede Mills-Primzahl. Zwar wurden für die vorige Reihe noch drei weitere Glieder gefunden, allerdings kann bisher nur vermutet werden, dass deren entsprechende Summen prim sind.

Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mills’ Konstante kann durch Berechnung der Mills-Primzahlen wie folgt approximiert werden:

Caldwell und Cheng[2] konnten mit dieser Methode die Konstante auf 6850 Nachkommastellen genau berechnen. Es ist weder bekannt, ob sich Mills’ Konstante in einer geschlossenen Form berechnen lässt, noch ob sie eine rationale Zahl ist.[3]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. William H. Mills: A prime-representing function. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, Nr. 6, 1947, ISSN 0002-9904, S. 604 ff., doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.
  2. Chris K. Caldwell, Yuanyou Cheng: Determining Mills’ Constant and a Note on Honaker’s Problem. In: Journal of Integer Sequences. Vol. 8, Nr. 4, 2005 (Volltext).
  3. Steven R. Finch: Mills’ Constant. In: Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 130–133.