Monge-Ampèresche Gleichung

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Eine monge-ampèresche Gleichung, oder monge-ampèresche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem ("problème du remblai-déblai", etwa: "Problem von Erdaufschüttung und -aushub") für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein hat eine monge-ampèresche Gleichung über einem offenen Gebiet die Form

wobei , mit die unbekannte Funktion ist, eine gegebene Funktion , und

die Hesse-Matrix von u. Speziell für den zweidimensionalen Fall n=2 ergibt sich die einfache Gestalt

mit und den Funktionen und . Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine monge-ampèresche Gleichung bezeichnet:

wobei A, B, C und E Funktionen von (x, y, u, p, q) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit A=B=C=0 und E=f die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei n=2 und . Dann ist eine Lösung der monge-ampèreschen Differentialgleichung, denn und daher

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine monge-ampèresche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen. Erläuterungen:

  • "partielle Differentialgleichung", denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion u gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.
  • "voll nichtlinear", da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von u quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen monge-ampèreschen Gleichungen, die für n=2 die Bedingungen und erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die meisten Anwendungen der monge-ampèreschen Gleichung sind innermathematischer Art. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine monge-ampèresche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen monge-ampèreschen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu monge-ampèreschen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]