Mysior-Ebene

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Die Mysior-Ebene ist ein auf den polnischen Mathematiker Adam Mysior zurückgehendes Beispiel eines topologischen Raums aus dem Jahre 1981.[1] Es handelt sich um einen regulären Hausdorffraum, der nicht vollständig regulär ist, oder in Trennungsaxiomen ausgedrückt, um einen T3-Raum, der nicht T3a-Raum ist. Die Konstruktion ist deutlich einfacher als ältere Beispiele dieser Art.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Nullumgebungen in der Mysior-Ebene

Die Grundmenge des hier vorgestellten Raumes ist die obere Halbebene zusammen mit einem weiteren Punkt , den man etwa als wählen kann.

.

Die Topologie wird durch die Angabe von Umgebungsbasen definiert. Als Umgebungsbasis eines Punktes betrachten wir:

  • im Falle die Menge , das heißt, diese Punkte sollen alle isoliert liegen.
  • im Falle die Menge der Mengen der Form , wobei in der Vereinigung der Strecken und liegt und bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen auch alle Punkte aus enthält.
  • im Falle die Menge der Mengen , dieser Fall betrifft also nur den Punkt .

Durch diese Umgebungsbasen wird eine Topologie auf definiert. Der topologische Raum heißt Mysior-Ebene.[2][3]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Punkt ist nicht isoliert, auch wenn obige Skizze diesen Eindruck erweckt, denn offenbar konvergiert für .

Die Mysior-Ebene ist ein T3-Raum. Die Hausdorff-Eigenschaft, nach der je zwei Punkte disjunkte Umgebungen haben, liest man leicht aus den angegebenen Umgebungsbasen ab. Der Raum ist aber auch regulär, das heißt jeder Punkte besitzt eine Umgebungsbasis aus -abgeschlossenen Mengen. In den ersten beiden Fällen obiger Definition sind die angegebenen Mengen bereits abgeschlossen. Für die Umgebungsbasismengen von überlegt man sich , so dass auch hier eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen existiert.

Die Mysior-Ebene ist kein T3a-Raum. Die Menge ist -abgeschlossenen, ist ein außerhalb dieser Menge gelegener Punkt, aber man kann zeigen, dass jede stetige Funktion, die für alle erfüllt, auch im Punkt gleich 0 ist. In diesem technischen Teil macht man von der Struktur der Umgebungsbasen der Punkte Gebrauch, mit der man Nullstellen von derart "nach rechts transportieren" kann, dass in jedem Intervall unendlich viele Nullstellen liegen. Damit enthält jede Umgebung von Nullstellen von und aus der Stetigkeit von folgt . Daher kann kein T3a-Raum sein.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Adam Mysior: A Regular Space which is not Completely Regular. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 81, Nr. 4, 1981, S. 652–653, doi:10.1090/S0002-9939-1981-0601748-4.
  2. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2, Beispiel (2.5,4).
  3. Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, Example III.2.